Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Доказательство: **а) Прямоугольник** 1. Пусть $ABCD$ — прямоугольник, а $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединим эти точки, получим четырехугольник $KLMN$. 2. Проведем диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$. В прямоугольнике диагонали равны: $AC = BD$. 3. Отрезок $KL$ является средней линией $\triangle ABC$, значит $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$. Аналогично, $MN$ — средняя линия $\triangle ADC$, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$. 4. Отрезок $LM$ — средняя линия $\triangle BCD$, значит $LM = \frac{1}{2} BD$. Отрезок $NK$ — средняя линия $\triangle ABD$, значит $NK = \frac{1}{2} BD$. 5. Так как $AC = BD$, то все стороны четырехугольника равны: $KL = LM = MN = NK = \frac{1}{2} AC$. 6. По определению, четырехугольник, у которого все стороны равны, является **ромбом**. Что и требовалось доказать. **б) Равнобедренная трапеция** 1. Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AB = CD$), а $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$. 2. Проведем диагонали трапеции $AC$ и $BD$. В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$. 3. Аналогично пункту (а), стороны четырехугольника $KLMN$ являются средними линиями треугольников, образованных сторонами трапеции и её диагоналями: - $KL = \frac{1}{2} AC$ (средняя линия $\triangle ABC$) - $MN = \frac{1}{2} AC$ (средняя линия $\triangle ADC$) - $LM = \frac{1}{2} BD$ (средняя линия $\triangle BCD$) - $NK = \frac{1}{2} BD$ (средняя линия $\triangle ABD$) 4. Так как $AC = BD$, то $KL = MN = LM = NK$. 5. Все стороны четырехугольника $KLMN$ равны, следовательно, он — **ромб**. Что и требовалось доказать.