3. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Постройте граф и ответьте на вопрос, можно ли добраться из города 1 в город 9?

### Задача 3 Два города соединены авиалинией, если двузначное число, составленное из их цифр, делится на 3. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Пусть города — это числа $V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Города разбиваются на группы по остатку от деления на 3: - Группа $R_0 = \{3, 6, 9\}$ (остаток 0) - Группа $R_1 = \{1, 4, 7\}$ (остаток 1) - Группа $R_2 = \{2, 5, 8\}$ (остаток 2) Связи возможны только внутри групп или между $R_1$ и $R_2$ (так как $1+2=3$, $1+2=6$ и т.д.): - Внутри $R_0$: все соединены со всеми (например, 36, 69, 93 делятся на 3). - Внутри $R_1$: сумма любых двух цифр дает 2 или 4 или 8 или 11 или 14, не делятся на 3. Связей нет. - Внутри $R_2$: сумма любых двух цифр дает 4, 7, 10, 13, 16, не делятся на 3. Связей нет. - Между $R_1$ и $R_2$: $1+2=3$, $1+5=6$, $1+8=9$, $4+2=6$, $4+5=9$, $4+8=12$, $7+2=9$, $7+5=12$, $7+8=15$. Все эти суммы делятся на 3. Таким образом, есть «острова» связности: 1. Все города из $R_0 = \{3, 6, 9\}$ соединены между собой. 2. Все города из $R_1 \cup R_2 = \{1, 4, 7, 2, 5, 8\}$ образуют полный двудольный граф. Город 1 (из $R_1$) и город 9 (из $R_0$) принадлежат разным компонентам связности. Между ними нет пути. **Ответ: нет, добраться нельзя.** ### Задача 4 Тетраэдр имеет 4 вершины и 6 рёбер. В каждой вершине сходятся 3 ребра. Степень каждой вершины равна 3 (нечетное число). Согласно теореме Эйлера, граф имеет Эйлеров путь (можно обойти все рёбра по одному разу), если количество вершин с нечетной степенью равно 0 или 2. Здесь у нас 4 такие вершины. **Ответ: нет, обойти все рёбра тетраэдра по одному разу нельзя.** ### Задача 5 Всего детей: 2000. Мальчиков: 1100. Частота $w = \frac{1100}{2000} = \frac{11}{20} = 0,55$. **Ответ: 0,55.** ### Задача 6 Всего горшков: 200. Горшков с дефектами: 12. Горшков без дефектов: $200 - 12 = 188$. Вероятность $P = \frac{188}{200} = \frac{94}{100} = 0,94$. **Ответ: 0,94.**