13. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите ∠BKC, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°.

### Решение заданий по геометрии **13. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите ∠BKC, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°.** В треугольнике BKC: - $\angle KBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$ - $\angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$ - Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - (\angle KBC + \angle KCB) = 180^\circ - (20^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ: 120°** **14. Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 108°.** *Допущение: предположим, что A, O, B лежат на одной прямой.* Тогда угол AOB развернутый и равен $180^\circ$. - $\angle AOD = 180^\circ - \angle DOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. - Так как OK — биссектриса, то $\angle DOK = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$. **Ответ: 36°** **15. В равнобедренном треугольнике ABC AC = BC. Найдите AH, если высота CH = 8, AC = 10.** Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC (угол AHC = 90°): - По теореме Пифагора $AH^2 + CH^2 = AC^2$ - $AH^2 + 8^2 = 10^2$ - $AH^2 + 64 = 100$ - $AH^2 = 36$ - $AH = 6$. **Ответ: 6** **16. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.** Угол DEF — вписанный, он опирается на дугу DF. - Дуга DF = $360^\circ - (\text{дуга } DE + \text{дуга } EF) = 360^\circ - (150^\circ + 68^\circ) = 360^\circ - 218^\circ = 142^\circ$. - Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle DEF = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ$. **Ответ: 71°** **17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.** Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. - Основание (нижняя сторона) по клеткам равно 5. - Высота (перпендикуляр от верхней стороны к нижней) равна 3. - Площадь $S = a \cdot h = 5 \cdot 3 = 15$. **Ответ: 15** **18. Какие из следующих утверждений верны?** 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. (Неверно: сумма смежных углов 180°, если один острый, второй тупой). 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. (Верно). 3) Все диаметры окружности равны между собой. (Верно). **Ответ: 23**