При решении геометрических задач часто используют дополнительные построения. Одно из таких построений связано с методом удвоения медианы: если AM — медиана треугольника ABC, то строится отрезок AK такой, что точка M является его серединой.

Доказательство: 1. Проведем медиану $AM$ в треугольнике $ABC$ и продолжим её за точку $M$ на отрезок $MK = AM$. Тогда в четырехугольнике $ABKC$ диагонали $AK$ и $BC$ точкой $M$ делятся пополам ($BM=MC$ как части медианы, $AM=MK$ по построению). Следовательно, $ABKC$ — параллелограмм. Отсюда $CK = AB$ и $BK = AC$. 2. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$ построим точку $K_1$ на продолжении медианы $A_1M_1$ так, что $A_1M_1 = M_1K_1$. Получим параллелограмм $A_1B_1K_1C_1$, где $C_1K_1 = A_1B_1$ и $B_1K_1 = A_1C_1$. 3. Рассмотрим $\triangle ACK$ и $\triangle A_1C_1K_1$: - $AC = A_1C_1$ (по условию); - $CK = AB = A_1B_1 = C_1K_1$ (так как $ABKC$ и $A_1B_1K_1C_1$ — параллелограммы); - $AK = 2AM = 2A_1M_1 = A_1K_1$ (по построению). Следовательно, $\triangle ACK = \triangle A_1C_1K_1$ по трем сторонам (признак равенства треугольников по трем сторонам). 4. Из равенства треугольников следует, что $\angle CAK = \angle C_1A_1K_1$. 5. Аналогично $\triangle ABK = \triangle A_1B_1K_1$ (по трем сторонам: $AB=A_1B_1$, $BK=AC=A_1C_1=B_1K_1$, $AK=A_1K_1$). Значит, $\angle BAK = \angle B_1A_1K_1$. 6. Складывая углы, получаем $\angle BAC = \angle BAK + \angle CAK = \angle B_1A_1K_1 + \angle C_1A_1K_1 = \angle B_1A_1C_1$. 7. Теперь в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). **Ответ:** Ч.Т.Д.