Доказать второй признак равенства треугольников. При помощи циркуля и линейки построить угол, равный данному. Задача по теме «Сумма углов треугольника». Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 72°

### 1. Доказательство второго признака равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. * **Дано:** $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. * **Доказать:** $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. * **Доказательство:** 1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с $A_1$, а сторона $AC$ наложилась на $A_1C_1$. Это возможно, так как $AC = A_1C_1$. 2. Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то сторона $AB$ пойдет по лучу $A_1B_1$, а сторона $CB$ — по лучу $C_1B_1$. 3. Точка $B$ (точка пересечения сторон $AB$ и $CB$) совпадет с точкой $B_1$ (пересечение сторон $A_1B_1$ и $C_1B_1$). 4. Следовательно, треугольники совместятся, то есть они равны. ### 2. Построение угла, равного данному Пусть дан угол $A$. Нужно построить угол, равный $A$: 1. Проводим луч с началом в точке $O_1$. 2. Раствором циркуля произвольного радиуса проводим дугу с центром в вершине данного угла $A$. Эта дуга пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. 3. Этим же радиусом проводим дугу с центром в точке $O_1$. Она пересекает луч в точке $B_1$. 4. Измеряем циркулем расстояние $BC$. Откладываем это расстояние дугой с центром в точке $B_1$ так, чтобы она пересекла первую дугу в точке $C_1$. 5. Проводим луч $O_1C_1$. Угол $B_1O_1C_1$ равен углу $A$. ### 3. Задача: Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 72° В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Рассмотрим два возможных случая: * **Случай 1:** Угол 72° лежит при основании. Тогда второй угол при основании тоже равен 72°. Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол (угол при вершине) $= 180° - (72° + 72°) = 180° - 144° = 36°$. Ответ: 36°, 72°, 72°. * **Случай 2:** Угол 72° лежит при вершине. Тогда два угла при основании равны $(180° - 72°) / 2 = 108° / 2 = 54°$. Ответ: 72°, 54°, 54°. **Итог: углы треугольника могут быть либо 36°, 72°, 72°, либо 72°, 54°, 54°.**