В треугольнике ABC высота CD делит угол C на два угла, причем ∠ACD = 25°, ∠BCD = 40°.

Давай разберем задачу 1 из Варианта Б2. ### Задача 1 В треугольнике $ABC$ высота $CD$ делит угол $C$ на два угла: $\angle ACD = 25^\circ$ и $\angle BCD = 40^\circ$. **а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный, и укажите его боковые стороны.** 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ (так как $CD$ — высота, углы $\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$). 2. Найдем углы при основании $AB$: - В $\triangle ACD$: $\angle A = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. - В $\triangle BCD$: $\angle B = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. - Угол $\angle C = \angle ACD + \angle BCD = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$. 3. Так как $\angle A = \angle C = 65^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Боковые стороны: $AB$ и $BC$. **б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle BOC$.** 1. Точка $O$ — точка пересечения высот (ортоцентр). Обозначим высоты: $CD \perp AB$, $AE \perp BC$, $BF \perp AC$. 2. В треугольнике $ABC$ углы равны: $\angle A = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 50^\circ$. 3. Рассмотрим четырехугольник $AFOE$ или треугольники, образованные высотами. Угол $\angle BOC$ в треугольнике $ABC$ можно найти через углы треугольника: $\angle BOC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. (Свойство угла между высотами: $\angle BOC = 180^\circ - \angle A$). Ответ: $115^\circ$.