Допущение: Восстановлено условие задания 12: "Площадь ромба S можно вычислить по формуле S = 1/2 * d1 * d2, где d1, d2 -- диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ d1, если диагональ d2 равна 30 м, а площадь ромба 120 м^2."

### Решение заданий **12. Площадь ромба** Формула $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Дано: $S = 120$, $d_2 = 30$. Подставим значения: $120 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 30$ $120 = 15 \cdot d_1$ $d_1 = 120 / 15 = 8$ **Ответ: 8** **13. Неравенство $x^2 - 25 \le 0$** Разложим на множители: $(x - 5)(x + 5) \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 25 = 0$ — это $-5$ и $5$. Парабола $y = x^2 - 25$ направлена ветвями вверх, поэтому она меньше или равна нулю между корнями (включая их). Решение: $x \in [-5; 5]$. Это соответствует варианту 2. **Ответ: 2** **14. Задача на закономерность** - 1 столик: 4 человека. - 2 столика: 6 человек ($4 + 2$). - 3 столика: 8 человек ($4 + 2 + 2$). Заметим: для $n$ столиков вместимость $a_n = 4 + 2(n - 1) = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$. Для $n = 18$ столиков: $2 \cdot 18 + 2 = 36 + 2 = 38$. **Ответ: 38** **15. Радиус описанной окружности** По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = 2R$. $AB = 16$, $\angle C = 30^\circ$, $\sin 30^\circ = 0,5$. $2R = \frac{16}{0,5} = 32$. $R = 16$. **Ответ: 16** **16. Касательная к окружности** Пусть $O$ — центр, $B$ — точка касания. $OB$ — радиус, $OB \perp AB$. $\triangle OBA$ — прямоугольный ($90^\circ$ в точке $B$). $OB = 7$, $AB = 24$. По теореме Пифагора: $OA^2 = OB^2 + AB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. $OA = \sqrt{625} = 25$. Точка $D$ лежит на отрезке $AO$. $AD = OA - OD$. $OD$ — радиус, значит $OD = 7$. $AD = 25 - 7 = 18$. **Ответ: 18** **17. Площадь треугольника** Пусть катеты $a = 11$ и $b$. Угол напротив катета $a$ равен $45^\circ$. Это означает, что треугольник прямоугольный и равнобедренный (так как второй острый угол тоже $45^\circ$). Значит, $b = 11$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 11 = \frac{121}{2} = 60,5$. **Ответ: 60,5** **18. Ромб на клетчатой бумаге** Посчитаем клетки по диагоналям. Горизонтальная диагональ проходит через 6 клеток, вертикальная через 2. Большая диагональ равна 6. **Ответ: 6** **19. Верные утверждения** 1) Да, это свойство биссектрисы угла. 2) Нет, в треугольнике может быть максимум один тупой угол. 3) Да, в равностороннем треугольнике все замечательные точки (центры описанной и вписанной окружностей) совпадают. **Ответ: 13**