Камень бросили вертикально вверх со скоростью v = 20 м/с. На какой высоте от точки бросания кинетическая энергия камня будет в 4 раза меньше его потенциальной энергии? Сопротивлением движению камня пренебречь. Коэффициент g примите равным 10 Н/кг.

Для решения воспользуемся законом сохранения механической энергии. Дано: $v_0 = 20$ м/с $E_k = \frac{1}{4} E_p$ $g = 10$ Н/кг Найти: $h$ — ? Решение: 1. Полная механическая энергия в начальный момент времени (у поверхности земли, $h=0$): $E = E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$. 2. Полная механическая энергия на высоте $h$: $E = E_k + E_p$. 3. По условию, на искомой высоте $E_k = \frac{1}{4} E_p$, значит $E_p = 4 E_k$. 4. Подставим это в закон сохранения энергии: $E_{k0} = E_k + 4 E_k$ $E_{k0} = 5 E_k$ $\frac{mv_0^2}{2} = 5 E_k$ 5. Запишем потенциальную энергию на высоте $h$: $E_p = mgh$. Так как $E_p = 4 E_k$, то $mgh = 4 E_k$, откуда $E_k = \frac{mgh}{4}$. 6. Подставим выражение для $E_k$ в уравнение из п. 4: $\frac{mv_0^2}{2} = 5 \cdot \frac{mgh}{4}$ 7. Сократим массу $m$ и выразим $h$: $\frac{v_0^2}{2} = \frac{5gh}{4}$ $2v_0^2 = 5gh$ $h = \frac{2v_0^2}{5g}$ 8. Подставим числовые значения: $h = \frac{2 \cdot 20^2}{5 \cdot 10} = \frac{2 \cdot 400}{50} = \frac{800}{50} = 16$ м. Ответ: 16 м.