Вопрос:

реши

Ответ ассистента

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Здесь нужно построить ортогональную систему многочленов.

a) Для узлов x0 = -2, x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2:

Чтобы построить ортогональную систему многочленов Pn(x) для n = 0, 1, 2, ... нам понадобится процесс ортогонализации. В данном случае, мы будем использовать ортогонализацию Грама-Шмидта.

• P0(x) = 1 (всегда). Это базисный многочлен нулевой степени.

• P1(x) = x - a, где a выбирается так, чтобы P1(x) был ортогонален P0(x). Это означает, что сумма P1(xi) * P0(xi) по всем i должна быть равна 0.

  То есть, (x0 - a) + (x1 - a) + (x2 - a) + (x3 - a) + (x4 - a) = 0

  Подставляем значения: (-2 - a) + (-1 - a) + (0 - a) + (1 - a) + (2 - a) = 0

  Получаем: -5a = 0, следовательно, a = 0.

  Значит, P1(x) = x.

• P2(x) = x^2 - b*x - c, где b и c выбираются так, чтобы P2(x) был ортогонален и P0(x), и P1(x).

  Это означает, что должны выполняться два условия:

  • Сумма P2(xi) * P0(xi) = 0
  • Сумма P2(xi) * P1(xi) = 0

  Подставляем значения x0, x1, x2, x3, x4 и решаем систему уравнений относительно b и c.

  • (4 - 2b - c) + (1 - b - c) + (0 - 0 - c) + (1 + b - c) + (4 + 2b - c) = 0 => 10 - 5c = 0 => c = 2
  • (4 - 2b - c) * (-2) + (1 - b - c) * (-1) + (0 - 0 - c) * 0 + (1 + b - c) * 1 + (4 + 2b - c) * 2 = 0 => -8 + 4b + 2c - 1 + b + c + 0 + 1 + b - c + 8 + 4b - 2c = 0 => 10b = 0 => b = 0

  Значит, P2(x) = x^2 - 2.

• Продолжая этот процесс, можно найти P3(x) и так далее. Однако, это требует больших вычислений.

b) Для отрезка [-1, 1]:

В этом случае обычно используют многочлены Лежандра, которые ортогональны на отрезке [-1, 1]. Они определяются рекуррентной формулой:

• P0(x) = 1
• P1(x) = x
• Pn+1(x) = ((2n+1)x * Pn(x) - n * Pn-1(x)) / (n+1)

Используя эту формулу:

• P0(x) = 1
• P1(x) = x
• P2(x) = (3x * P1(x) - 0 * P0(x)) / 2 = (3x^2 - 1) / 2
• P3(x) = (5x * P2(x) - 1 * P1(x)) / 3 = (5x * (3x^2 - 1) / 2 - x) / 3 = (15x^3 - 5x - 2x) / 6 = (15x^3 - 7x) / 6

И так далее.

В итоге, мы получили несколько первых ортогональных многочленов для обоих случаев. Если нужно больше многочленов, просто продолжай вычисления, используя описанные методы!