Вопрос:

Вычислите

Ответ ассистента

Конечно, помогу! Вот решение:

Чтобы решить эту задачу, нужно избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение к знаменателю.

1. Рассмотрим первую дробь: 1 / (√2 + 1). Домножим числитель и знаменатель на (√2 - 1):

   (1 * (√2 - 1)) / ((√2 + 1) * (√2 - 1)) = (√2 - 1) / (2 - 1) = √2 - 1 2. Рассмотрим вторую дробь: 1 / (√2 + √3). Домножим числитель и знаменатель на (√2 - √3):

   (1 * (√2 - √3)) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (2 - 3) = (√2 - √3) / (-1) = √3 - √2 3. Аналогично для третьей дроби: 1 / (√3 + √4). Домножим числитель и знаменатель на (√3 - √4):

   (1 * (√3 - √4)) / ((√3 + √4) * (√3 - √4)) = (√3 - √4) / (3 - 4) = (√3 - √4) / (-1) = √4 - √3 4. И так далее, пока не дойдем до последней дроби: 1 / (√99 + √100). Домножим числитель и знаменатель на (√99 - √100):

   (1 * (√99 - √100)) / ((√99 + √100) * (√99 - √100)) = (√99 - √100) / (99 - 100) = (√99 - √100) / (-1) = √100 - √99

Теперь сложим все эти дроби:

(√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√100 - √99)

Заметим, что многие члены сокращаются: -√2 и +√2, -√3 и +√3, и так далее. В итоге останется:

-1 + √100 = -1 + 10 = 9

Ответ: 9