Вопрос:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершина D начало координат, ребра DC, DA, DD1 лежат на осях координат Ох, Оу, Оz соответственно и DC = 3 DA = 2 DD1= 1 Найдите расстояние от точки D до плоскости ACD1

Ответ ассистента

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

1. Введение координат

Разместим прямоугольный параллелепипед в системе координат так, как указано в условии: * D - начало координат (0, 0, 0) * DC лежит на оси Ox * DA лежит на оси Oy * DD1 лежит на оси Oz

Тогда координаты точек будут следующими: * D(0, 0, 0) * C(3, 0, 0) * A(0, 2, 0) * D1(0, 0, 1)

2. Уравнение плоскости ACD1

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки A, C и D1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

Подставим координаты точек A, C и D1 в это уравнение, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D.

• Для точки A(0, 2, 0): 2B + D = 0
• Для точки C(3, 0, 0): 3A + D = 0
• Для точки D1(0, 0, 1): C + D = 0

Выразим A, B и C через D: * A = -D/3 * B = -D/2 * C = -D

Подставим эти значения в общее уравнение плоскости:

(-D/3)x + (-D/2)y + (-D)z + D = 0

Разделим обе части уравнения на -D (D не равно 0, иначе уравнение будет тривиальным):

(1/3)x + (1/2)y + z - 1 = 0

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6:

2x + 3y + 6z - 6 = 0

Таким образом, уравнение плоскости ACD1:

2x + 3y + 6z - 6 = 0

3. Расстояние от точки D до плоскости ACD1

Расстояние от точки D(0, 0, 0) до плоскости 2x + 3y + 6z - 6 = 0 находится по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

где (x0, y0, z0) - координаты точки D, а A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости.

Подставим значения: d = |20 + 30 + 6*0 - 6| / √(2^2 + 3^2 + 6^2) d = |-6| / √(4 + 9 + 36) d = 6 / √49 d = 6 / 7

Ответ: Расстояние от точки D до плоскости ACD1 равно 6/7.