Вопрос:

Как сосчитать количество корней у уравнения вида cos3x = sqrt(3)/2, если принадлежит промежутку [-pi/2;pi]?

Ответ ассистента

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением.

1. Общий вид решения уравнения cos(t) = a

Сначала вспомним общее решение уравнения cos(t) = a, где |a| ≤ 1: t = ±arccos(a) + 2πk, где k — целое число.

2. Решение нашего уравнения cos(3x) = √3/2

В нашем случае, cos(3x) = √3/2. Значит: 3x = ±arccos(√3/2) + 2πk 3x = ±π/6 + 2πk x = ±π/18 + (2πk)/3

3. Находим корни, принадлежащие промежутку [-π/2; π]

Теперь нам нужно найти все значения k, при которых корни x попадают в заданный промежуток [-π/2; π].

• Серия x = π/18 + (2πk)/3

  • Начнём с k = -1: x = π/18 - (2π)/3 = π/18 - (12π)/18 = -11π/18. Это значение входит в промежуток [-π/2; π], так как -11/18 > -1/2.
  • k = 0: x = π/18. Это значение тоже входит в промежуток.
  • k = 1: x = π/18 + (2π)/3 = π/18 + (12π)/18 = 13π/18. Это значение тоже входит в промежуток, так как 13/18 < 1.
  • k = 2: x = π/18 + (4π)/3 = π/18 + (24π)/18 = 25π/18. Это значение уже не входит в промежуток, так как 25/18 > 1.

  • Серия x = -π/18 + (2πk)/3

  • k = -1: x = -π/18 - (2π)/3 = -π/18 - (12π)/18 = -13π/18. Это значение входит в промежуток [-π/2; π], так как -13/18 > -1/2.

  • k = 0: x = -π/18. Это значение тоже входит в промежуток.
  • k = 1: x = -π/18 + (2π)/3 = -π/18 + (12π)/18 = 11π/18. Это значение тоже входит в промежуток, так как 11/18 < 1.
  • k = 2: x = -π/18 + (4π)/3 = -π/18 + (24π)/18 = 23π/18. Это значение уже не входит в промежуток, так как 23/18 > 1.
  • k = -2: x = -π/18 - (4π)/3 = -π/18 - (24π)/18 = -25π/18. Это значение не входит в промежуток, так как -25/18 < -1/2.

4. Считаем количество корней

Итак, мы нашли следующие корни, входящие в промежуток [-π/2; π]:

• -11π/18
• π/18
• 13π/18
• -13π/18
• -π/18
• 11π/18

Всего получилось 6 корней.

Ответ: 6