Вопрос:

Реши

Ответ ассистента

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Задача: Сколько корней уравнения cos(3x) = √3/2 принадлежат промежутку [-π/2; π]?

Решение:

1. Решаем уравнение cos(3x) = √3/2 Общее решение уравнения cos(t) = a, где |a| ≤ 1, имеет вид: t = ±arccos(a) + 2πk, где k — целое число. В нашем случае: 3x = ±arccos(√3/2) + 2πk 3x = ±π/6 + 2πk x = ±π/18 + (2πk)/3

2. Находим корни, принадлежащие промежутку [-π/2; π]

   • Для x = π/18 + (2πk)/3: Неравенство: -π/2 ≤ π/18 + (2πk)/3 ≤ π Делим всё на π: -1/2 ≤ 1/18 + (2k)/3 ≤ 1 Умножаем всё на 18: -9 ≤ 1 + 12k ≤ 18 Вычитаем 1: -10 ≤ 12k ≤ 17 Делим на 12: -10/12 ≤ k ≤ 17/12 -5/6 ≤ k ≤ 17/12 Целые значения k: 0, 1

     • k = 0: x = π/18
     • k = 1: x = π/18 + (2π)/3 = π/18 + (12π)/18 = (13π)/18

   • Для x = -π/18 + (2πk)/3: Неравенство: -π/2 ≤ -π/18 + (2πk)/3 ≤ π Делим всё на π: -1/2 ≤ -1/18 + (2k)/3 ≤ 1 Умножаем всё на 18: -9 ≤ -1 + 12k ≤ 18 Прибавляем 1: -8 ≤ 12k ≤ 19 Делим на 12: -8/12 ≤ k ≤ 19/12 -2/3 ≤ k ≤ 19/12 Целые значения k: 0, 1

     • k = 0: x = -π/18
     • k = 1: x = -π/18 + (2π)/3 = -π/18 + (12π)/18 = (11π)/18

3. Считаем количество корней: Получили корни: π/18, (13π)/18, -π/18, (11π)/18. Все эти корни принадлежат заданному промежутку [-π/2; π].

Ответ: 4