Вопрос:

Разверткой Боковой поверхности конуса Является Сектор градусная мера дуги которого Составляет сто двадцать градусов Найди те объем конуса если площадь его боковой поверхности равна 9 пи см квадратных

Ответ ассистента

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

1. Основные формулы, которые нам понадобятся:

• Площадь боковой поверхности конуса: S_бок = π * r * l, где r – радиус основания конуса, l – образующая конуса.
• Длина дуги сектора: L = (π * R * α) / 180, где R – радиус сектора, α – градусная мера дуги.
• Объем конуса: V = (1/3) * π * r² * h, где h – высота конуса.
• Соотношение между радиусом, высотой и образующей конуса: r² + h² = l² (теорема Пифагора).

2. Анализ условия:

• Развертка боковой поверхности конуса – сектор с дугой 120°.
• Площадь боковой поверхности конуса равна 9π см².
• Нужно найти объем конуса.

3. Решение:

• Шаг 1: Найдем образующую конуса (l).

  Площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора развертки. В нашем случае, радиус сектора равен образующей конуса (l). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

  Дано: S_бок = 9π см². S_бок = π * r * l = 9π r * l = 9 * Шаг 2: Найдем радиус основания конуса (r).

  Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: L = 2πr

  Также, длина дуги сектора равна: L = (π * l * 120) / 180 = (2π * l) / 3

  Приравниваем: 2πr = (2π * l) / 3 r = l / 3 * Шаг 3: Найдем l и r.

  Подставим r = l / 3 в уравнение r * l = 9: (l / 3) * l = 9 l² = 27 l = √27 = 3√3 см

  Теперь найдем r: r = (3√3) / 3 = √3 см * Шаг 4: Найдем высоту конуса (h).

  Используем теорему Пифагора: r² + h² = l² (√3)² + h² = (3√3)² 3 + h² = 27 h² = 24 h = √24 = 2√6 см * Шаг 5: Найдем объем конуса (V).

  V = (1/3) * π * r² * h V = (1/3) * π * (√3)² * (2√6) V = (1/3) * π * 3 * 2√6 V = 2π√6 см³

Ответ: 2π√6 см³