Вопрос:

Точка M равноудалена от вершин квадрата abcd и находится на расстояние 4√2 см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата abcd до плоскости CMD, если сторона квадрата 4 см.

Ответ ассистента

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этой задачей по геометрии. Она может показаться сложной, но если разложить всё по шагам, то станет понятно.

1. Анализ условия и чертёж

• У нас есть квадрат ABCD.
• Точка M находится на одинаковом расстоянии от всех вершин квадрата. Это значит, что M - вершина пирамиды, основанием которой является квадрат ABCD, а высота пирамиды проходит через центр квадрата.
• Расстояние от точки M до плоскости квадрата ABCD равно 4√2 см. Это высота пирамиды.
• Сторона квадрата равна 4 см.
• Нам нужно найти расстояние от центра квадрата (назовём его O) до плоскости CMD.

2. Основные построения и рассуждения

• Так как точка M равноудалена от вершин квадрата, то основание высоты, опущенной из точки M на плоскость квадрата, является центром этого квадрата (точка O). MO – перпендикуляр к плоскости ABCD, и MO = 4√2 см.
• Нам нужно найти расстояние от точки O до плоскости CMD. Обозначим это расстояние как OH, где H – точка на плоскости CMD, и OH перпендикулярна плоскости CMD.

3. План решения

• Найти диагональ квадрата и её половину (AO = OC).
• Рассмотреть треугольник MOC. Он прямоугольный, так как MO перпендикулярна плоскости квадрата. Найти MC.
• Найти площадь треугольника CMD.
• Выразить объем пирамиды OMCD двумя способами и приравнять выражения, чтобы найти OH.

4. Решение

• Диагональ квадрата: Диагональ квадрата ABCD равна a√2, где a – сторона квадрата. Значит, AC = 4√2 см.
• Половина диагонали: OC = AC / 2 = (4√2) / 2 = 2√2 см.
• Треугольник MOC: MO = 4√2 см, OC = 2√2 см. По теореме Пифагора, MC^2 = MO^2 + OC^2 = (4√2)^2 + (2√2)^2 = 32 + 8 = 40. Значит, MC = √40 = 2√10 см.
• Площадь треугольника CMD: Основание CD = 4 см, высота MK (где K – середина CD) в треугольнике MCD равна √(MC^2 - KC^2) = √((2√10)^2 - 2^2) = √(40 - 4) = √36 = 6 см. Площадь треугольника CMD равна (1/2) * CD * MK = (1/2) * 4 * 6 = 12 см².
• Объем пирамиды OMCD:
  • Способ 1: V = (1/3) * S(CMD) * OH = (1/3) * 12 * OH = 4OH.
  • Способ 2: V = (1/3) * S(OCD) * MO = (1/3) * (1/2 * 4 * 4) * 4√2 = (32√2) / 3.
• Приравниваем объемы и находим OH: 4OH = (32√2) / 3 OH = (8√2) / 3 см.

Ответ: Расстояние от центра квадрата ABCD до плоскости CMD равно (8√2) / 3 см.