Вопрос:

. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60° вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Чему равна наибольшая площадь такого прямоугольника?

Ответ ассистента

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

1. Понимание задачи и построение чертежа

Представим себе прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, и гипотенуза AB = 8 см. В этот треугольник вписан прямоугольник CDEF, где сторона DE лежит на гипотенузе AB. Наша цель — найти наибольшую возможную площадь этого прямоугольника.

2. Анализ углов и сторон треугольника

• Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AC = AB / 2 = 8 / 2 = 4 см.
• Теперь найдем катет BC, используя теорему Пифагора: BC^2 = AB^2 - AC^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48. Следовательно, BC = √48 = 4√3 см.

3. Введение переменных и выражение площади прямоугольника

Пусть CE = x. Тогда CF = BC - CE = 4√3 - x. Теперь нужно выразить длину стороны DE прямоугольника через x. Для этого рассмотрим подобие треугольников ABC и DBE.

4. Использование подобия треугольников

Треугольники ABC и DBE подобны (у них угол B общий, и оба треугольника прямоугольные). Значит, DE / AC = BE / BC. Выразим BE через x: BE = CF = 4√3 - x. Теперь подставим известные значения в пропорцию: DE / 4 = (4√3 - x) / (4√3). Отсюда DE = 4 * (4√3 - x) / (4√3) = (4√3 - x) / √3.

5. Выражение площади прямоугольника через x

Площадь прямоугольника CDEF равна: S = CE * DE = x * (4√3 - x) / √3 = (4√3 * x - x^2) / √3.

6. Нахождение максимума площади

Чтобы найти максимум площади, нам нужно найти вершину параболы, заданной функцией S(x) = (4√3 * x - x^2) / √3. Функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Координата x вершины параболы находится по формуле x_вершины = -b / (2a), где a и b – коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае S(x) = (-1/√3) * x^2 + (4) * x. Тогда a = -1/√3, b = 4. x_вершины = -4 / (2 * (-1/√3)) = 2√3.

7. Вычисление наибольшей площади

Подставим x_вершины = 2√3 в формулу площади: S_max = (4√3 * 2√3 - (2√3)^2) / √3 = (24 - 12) / √3 = 12 / √3 = 4√3.

Ответ: Наибольшая площадь прямоугольника равна 4√3 см^2.