Тема: Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Применение ограниченности тригонометрических функций. Задание: Решите уравнение. Уравнение: sin 5 x = cos 4 x Прошу подробное решение.

Привет! Давай вместе решим это тригонометрическое уравнение.

1. Преобразуем уравнение

Для начала, нам нужно как-то объединить sin и cos. Вспомним формулу приведения: cos(x) = sin(π/2 - x). Применим её к правой части нашего уравнения:

sin 5x = sin (π/2 - 4x)

2. Используем формулу для разности синусов

Теперь у нас синус равен синусу. Перенесём всё в левую часть:

sin 5x - sin (π/2 - 4x) = 0

Вспомним формулу для разности синусов: sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2). Применим её:

2 cos((5x + π/2 - 4x)/2) sin((5x - (π/2 - 4x))/2) = 0

Упростим выражение:

2 cos((x + π/2)/2) sin((9x - π/2)/2) = 0

3. Решаем два уравнения

Теперь у нас произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю. Получаем два уравнения:

а) cos((x + π/2)/2) = 0 б) sin((9x - π/2)/2) = 0

4. Решаем уравнение (а)

cos((x + π/2)/2) = 0

Общее решение для cos(y) = 0: y = π/2 + πk, где k - целое число. Значит:

(x + π/2)/2 = π/2 + πk

Умножим обе части на 2:

x + π/2 = π + 2πk

Выразим x:

x = π/2 + 2πk

5. Решаем уравнение (б)

sin((9x - π/2)/2) = 0

Общее решение для sin(y) = 0: y = πk, где k - целое число. Значит:

(9x - π/2)/2 = πk

Умножим обе части на 2:

9x - π/2 = 2πk

Выразим x:

9x = π/2 + 2πk

x = π/18 + (2πk)/9

6. Записываем окончательный ответ

Ответ: x = π/2 + 2πk, x = π/18 + (2πk)/9, где k - целое число.

Другие решения