Вопрос:

Центр окружности, описанной около трапеции лежит на её основании, боковая сторона трапеции равна 4 см, угол при основании равен 60°. найдите площадь трапеции.

Ответ ассистента

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

1. Разбираемся с условием:

• У нас есть трапеция, вокруг которой описана окружность.
• Центр этой окружности лежит на основании трапеции. Это значит, что это основание является диаметром окружности, и трапеция равнобедренная.
• Боковая сторона трапеции равна 4 см.
• Угол при основании равен 60°.
• Найти нужно площадь трапеции.

2. Рисунок:

К сожалению, я не могу нарисовать рисунок. Но ты можешь нарисовать трапецию ABCD, где AD - большее основание и центр описанной окружности лежит на AD. Боковые стороны AB и CD равны, углы при основании AD равны 60 градусов.

3. Решение:

• Так как центр окружности лежит на основании AD, то AD – диаметр окружности. А так как трапеция описана около окружности, то она равнобедренная (AB = CD).

• Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.

• Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, угол BAH = 60°. Значит, угол ABH = 30°.

• В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AH = AB / 2 = 4 / 2 = 2 см.

• Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD = 2 см.

• Теперь найдем высоту BH. В треугольнике ABH по теореме Пифагора: BH^2 = AB^2 - AH^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 BH = √12 = 2√3 см.

• Так как AD – диаметр, а центр окружности лежит на AD, то радиус окружности R = AO = OD. Диаметр AD = AH + HK + KD. HK = BC (верхнее основание). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол ABD = 90° (так как опирается на диаметр). Угол BAD = 60°, значит, угол ADB = 30°. Тогда AB = AD / 2. 4 = AD / 2, AD = 8 см.

• Теперь найдем BC: AD = AH + HK + KD 8 = 2 + BC + 2 BC = 4 см

• Площадь трапеции: S = ((AD + BC) / 2) * BH = ((8 + 4) / 2) * 2√3 = (12 / 2) * 2√3 = 6 * 2√3 = 12√3 см^2.

4. Ответ:

Площадь трапеции равна 12√3 квадратных сантиметров.