Вопрос:

Реши

Ответ ассистента

Конечно, давай разберем эти задания по порядку.

1. {4 + 5n - n^2}

Чтобы найти первые пять членов последовательности, нужно подставить значения n = 1, 2, 3, 4, 5 в формулу:

• n = 1: 4 + 5(1) - (1)^2 = 4 + 5 - 1 = 8
• n = 2: 4 + 5(2) - (2)^2 = 4 + 10 - 4 = 10
• n = 3: 4 + 5(3) - (3)^2 = 4 + 15 - 9 = 10
• n = 4: 4 + 5(4) - (4)^2 = 4 + 20 - 16 = 8
• n = 5: 4 + 5(5) - (5)^2 = 4 + 25 - 25 = 4

Ответ: 8, 10, 10, 8, 4

2. { (4 - (-1)^n) / (2n + 3) }

Снова подставляем n = 1, 2, 3, 4, 5:

• n = 1: (4 - (-1)^1) / (2(1) + 3) = (4 + 1) / 5 = 5/5 = 1
• n = 2: (4 - (-1)^2) / (2(2) + 3) = (4 - 1) / 7 = 3/7
• n = 3: (4 - (-1)^3) / (2(3) + 3) = (4 + 1) / 9 = 5/9
• n = 4: (4 - (-1)^4) / (2(4) + 3) = (4 - 1) / 11 = 3/11
• n = 5: (4 - (-1)^5) / (2(5) + 3) = (4 + 1) / 13 = 5/13

Ответ: 1, 3/7, 5/9, 3/11, 5/13

3. a_n = 0.5 * a_{n-1} + 16, a_1 = -16

Здесь нужно использовать рекуррентную формулу:

• a_1 = -16 (дано)
• a_2 = 0.5 * a_1 + 16 = 0.5 * (-16) + 16 = -8 + 16 = 8
• a_3 = 0.5 * a_2 + 16 = 0.5 * 8 + 16 = 4 + 16 = 20
• a_4 = 0.5 * a_3 + 16 = 0.5 * 20 + 16 = 10 + 16 = 26
• a_5 = 0.5 * a_4 + 16 = 0.5 * 26 + 16 = 13 + 16 = 29

Ответ: -16, 8, 20, 26, 29

4. a_n = 3*a_{n-2} - a_{n-1} + n, a_1 = 0, a_2 = -3

Снова рекуррентная формула:

• a_1 = 0 (дано)
• a_2 = -3 (дано)
• a_3 = 3a_1 - a_2 + 3 = 3(0) - (-3) + 3 = 0 + 3 + 3 = 6
• a_4 = 3a_2 - a_3 + 4 = 3(-3) - 6 + 4 = -9 - 6 + 4 = -11
• a_5 = 3a_3 - a_4 + 5 = 3(6) - (-11) + 5 = 18 + 11 + 5 = 34

Ответ: 0, -3, 6, -11, 34

5. 5; 3; 1; -1; -3 ...

Замечаем, что каждый следующий член получается вычитанием 2 из предыдущего. Значит, это арифметическая прогрессия с разностью d = -2. Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n - 1) * d

В нашем случае: a_n = 5 + (n - 1) * (-2) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n

Ответ: a_n = 7 - 2n

6. 1/4; -1/8; 1/16; -1/32; 1/64 ...

Это геометрическая прогрессия. Первый член b_1 = 1/4. Знаменатель q = (-1/8) / (1/4) = -1/2. Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b_1 * q^(n-1)

В нашем случае: b_n = (1/4) * (-1/2)^(n-1)

Ответ: b_n = (1/4) * (-1/2)^(n-1)

7. 2/(34); 4/(45); 6/(56); 8/(67); 10/(7*8) ...

Заметим закономерность: в числителе - четные числа (2n), в знаменателе - произведение двух последовательных чисел, начиная с 3 и 4.

Тогда a_n = (2n) / ((n+2)(n+3))

Ответ: a_n = (2n) / ((n+2)(n+3))

8. x_n = n^2 - 20n + 3

а) Сколько в ней отрицательных членов? Решим неравенство: n^2 - 20n + 3 < 0. Найдем корни квадратного уравнения n^2 - 20n + 3 = 0: n = (20 ± sqrt(20^2 - 413)) / 2 = (20 ± sqrt(400 - 12)) / 2 = (20 ± sqrt(388)) / 2 = (20 ± 2sqrt(97)) / 2 = 10 ± sqrt(97) Приближенно, n ≈ 10 ± 9.85. Значит, n1 ≈ 0.15 и n2 ≈ 19.85. Так как n - натуральное число, то отрицательные члены последовательности будут при n от 1 до 19. Значит, 19 отрицательных членов.

Ответ: 19

б) Найти наименьший член последовательности. x_n = n^2 - 20n + 3. Это квадратичная функция с ветвями вверх. Наименьшее значение будет в вершине параболы. n_вершины = -b / 2a = 20 / 2 = 10. x_10 = (10)^2 - 20*(10) + 3 = 100 - 200 + 3 = -97

Ответ: -97

в) Указать номер (или номера) члена последовательности, который равен -93. Решим уравнение: n^2 - 20n + 3 = -93 n^2 - 20n + 96 = 0 Найдем корни: n = (20 ± sqrt(20^2 - 4196)) / 2 = (20 ± sqrt(400 - 384)) / 2 = (20 ± sqrt(16)) / 2 = (20 ± 4) / 2 n1 = (20 + 4) / 2 = 12 n2 = (20 - 4) / 2 = 8

Ответ: 8 и 12

г) Выяснить, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-10; 8]. Решим два неравенства: 1. n^2 - 20n + 3 >= -10 n^2 - 20n + 13 >= 0 n = (20 ± sqrt(20^2 - 4113)) / 2 = (20 ± sqrt(400 - 52)) / 2 = (20 ± sqrt(348)) / 2 ≈ (20 ± 18.65) / 2 n1 ≈ 0.675, n2 ≈ 19.325 Значит, n <= 0.675 или n >= 19.325.

1. n^2 - 20n + 3 <= 8 n^2 - 20n - 5 <= 0 n = (20 ± sqrt(20^2 - 41(-5))) / 2 = (20 ± sqrt(400 + 20)) / 2 = (20 ± sqrt(420)) / 2 ≈ (20 ± 20.49) / 2 n1 ≈ -0.245, n2 ≈ 20.245 Значит, -0.245 <= n <= 20.245

Учитывая, что n - натуральное число, то из первого неравенства получаем n >= 19, а из второго n <= 20. То есть, n = 19 и n = 20 подходят.

Теперь нужно проверить значения x_19 и x_20: x_19 = 19^2 - 2019 + 3 = 361 - 380 + 3 = -16 x_20 = 20^2 - 2020 + 3 = 400 - 400 + 3 = 3

x_1 = 1 - 20 + 3 = -16 x_2 = 4 - 40 + 3 = -33 В заданный отрезок попадают члены от x_1 до x_20. Посчитаем, сколько их. Надо найти такие n, что -10 <= x_n <= 8. x_n = n^2 - 20n + 3.

Перебором: n=1 x_1 = -16 n=2 x_2 = -33 ... n=7 x_7 = -80 n=8 x_8 = -93 n=9 x_9 = -96 n=10 x_10 = -97 n=11 x_11 = -96 n=12 x_12 = -93 n=13 x_13 = -88 ... n=19 x_19 = -16 n=20 x_20 = 3 n=21 x_21 = 4

Подходят x_19 = -16 (не подходит), x_20 = 3 (подходит). Проверим x=17,18.

n = 17, x_17 = 17^2 - 20*17 + 3 = -48.

n =18, x_18 = -33

Получается только x_20 = 3. Надо проверить с 1 по 19. n = 1 x_1 = -16, не подходит n = 2 x_2 = -33, не подходит.

Значит, только x_20 = 3 подходит. Но таких членов несколько, начиная с 20.

Проверяем с конца, какие члены входят: n = 19, x_19 = -16

Получается что в интервал входят числа от -10 до 8. У нас есть только -16 и 3, 3 точно входит, а -16 нет. Вывод, подходит только 1 элемент x_20 = 3.

Ответ: 1

9. Доказать, что последовательность {4 + 5n} возрастает.

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, нужно показать, что a_{n+1} > a_n для любого n.

a_n = 4 + 5n a_{n+1} = 4 + 5(n+1) = 4 + 5n + 5

Теперь сравним: a_{n+1} - a_n = (4 + 5n + 5) - (4 + 5n) = 5

Так как 5 > 0, то a_{n+1} > a_n. Значит, последовательность возрастает.

Ответ: Последовательность {4 + 5n} возрастает, так как a_{n+1} - a_n = 5 > 0.

10. Доказать, что последовательность {(2n + 3) / (3n - 1)} ограничена.

Чтобы доказать, что последовательность ограничена, нужно показать, что существуют числа M и N такие, что N <= a_n <= M для всех n. Рассмотрим предел последовательности при n -> ∞: lim (n->∞) (2n + 3) / (3n - 1) = lim (n->∞) (2 + 3/n) / (3 - 1/n) = 2/3

Это значит, что при больших n, члены последовательности стремятся к 2/3. Найдем первый член последовательности: a_1 = (2(1) + 3) / (3(1) - 1) = 5 / 2 = 2.5

Так как последовательность сходится к 2/3, и первый член равен 2.5, то все члены последовательности находятся между 2/3 и 2.5.

Ответ: Последовательность {(2n + 3) / (3n - 1)} ограничена, так как сходится к 2/3 и все ее члены находятся между 2/3 и 2.5.