Вопрос:

сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной

Ответ ассистента

Привет! Давай вместе разберемся с теоремой о свойстве касательной к окружности.

Формулировка теоремы:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Представим окружность с центром в точке O. Пусть прямая a является касательной к этой окружности в точке A. Нам нужно доказать, что радиус OA перпендикулярен касательной a.

1. Предположим обратное: допустим, что OA не перпендикулярна a.
2. Тогда, из точки O можно опустить перпендикуляр OB на прямую a, где B – это основание перпендикуляра.
3. Так как OB – перпендикуляр, то он короче любой другой наклонной, проведенной из точки O к прямой a. Следовательно, OB < OA.
4. Раз OB короче радиуса OA, то точка B лежит внутри окружности.
5. Но если точка B лежит внутри окружности, то прямая a (касательная) пересекает окружность в двух точках: в точке A (по условию) и в точке B (так как она внутри окружности).
6. Это противоречит определению касательной, так как касательная должна иметь с окружностью только одну общую точку.
7. Следовательно, наше предположение о том, что OA не перпендикулярна a, неверно.
8. Значит, радиус OA перпендикулярен касательной a.

Что и требовалось доказать.

Надеюсь, теперь тебе все понятно!