Помоги мне найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0 для функции f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 12x²

Конечно, давай решим! Тебе нужно найти значения $x$, при которых производная функции $f(x)$ равна нулю. Это значит, что сначала нужно найти производную каждой функции, а потом приравнять её к нулю и решить получившееся уравнение. 1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ * Находим производную: $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$ * Приравниваем к нулю: $12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$ * Выносим общий множитель: $12x(x^2 - x - 2) = 0$ * Решаем уравнение $x(x^2 - x - 2) = 0$. Оно распадается на два уравнения: * $12x = 0$, откуда $x = 0$ * $x^2 - x - 2 = 0$. Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или теорему Виета. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ **Ответ: $x = 0, -1, 2$** 2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$ * Находим производную: $f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 16x$ * Приравниваем к нулю: $4x^3 + 12x^2 - 16x = 0$ * Выносим общий множитель: $4x(x^2 + 3x - 4) = 0$ * Решаем уравнение $4x(x^2 + 3x - 4) = 0$. Оно распадается на два уравнения: * $4x = 0$, откуда $x = 0$ * $x^2 + 3x - 4 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$ **Ответ: $x = 0, 1, -4$** 3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5)$ * Находим производную, используя правило произведения: $f'(x) = (2x)(2x^2 + 5) + (x^2 + 3)(4x)$ * Упрощаем: $f'(x) = 4x^3 + 10x + 4x^3 + 12x = 8x^3 + 22x$ * Приравниваем к нулю: $8x^3 + 22x = 0$ * Выносим общий множитель: $2x(4x^2 + 11) = 0$ * Решаем уравнение $2x(4x^2 + 11) = 0$. Оно распадается на два уравнения: * $2x = 0$, откуда $x = 0$ * $4x^2 + 11 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $4x^2$ всегда неотрицательно, и сумма с 11 не может быть равна нулю. **Ответ: $x = 0$** 4) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ * Находим производную: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ * Приравниваем к нулю: $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ * Решаем уравнение: $\frac{1}{x^2} = 1$, откуда $x^2 = 1$ * Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$ **Ответ: $x = 1, -1$** 5) $f(x) = (x - 1)^2 x \sqrt{x}$ * Преобразуем: $f(x) = (x^2 - 2x + 1)x^{3/2} = x^{7/2} - 2x^{5/2} + x^{3/2}$ * Находим производную: $f'(x) = \frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2}$ * Приравниваем к нулю: $\frac{7}{2}x^{5/2} - 5x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{1/2} = 0$ * Выносим общий множитель: $\frac{1}{2}x^{1/2}(7x^2 - 10x + 3) = 0$ * Решаем уравнение $\frac{1}{2}x^{1/2}(7x^2 - 10x + 3) = 0$. Оно распадается на два уравнения: * $\frac{1}{2}x^{1/2} = 0$, откуда $x = 0$ * $7x^2 - 10x + 3 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{7}$ **Ответ: $x = 0, 1, \frac{3}{7}$** 6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x$ * Находим производную: $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12$ * Приравниваем к нулю: $12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 = 0$ * Делим на 12: $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$ * Группируем: $(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$ * Выносим общий множитель: $x^2(x - 1) + (x - 1) = 0$ * $(x - 1)(x^2 + 1) = 0$ * Решаем уравнение $(x - 1)(x^2 + 1) = 0$. Оно распадается на два уравнения: * $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$ * $x^2 + 1 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ всегда неотрицательно, и сумма с 1 не может быть равна нулю. **Ответ: $x = 1$**