Объясни, как записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(6)

Чтобы перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную, нужно понять, какая часть дроби повторяется. Повторяющаяся часть называется периодом. Сейчас покажу, как это делается на примере: 1) $0,(6)$ — это значит $0,6666...$ Пусть $x = 0,(6)$. Тогда $10x = 6,(6)$. Вычтем из $10x$ исходное $x$: $10x - x = 6,(6) - 0,(6)$. Получаем $9x = 6$, значит $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. 2) $1,(55)$ — это $1,5555...$ Представим как $1 + 0,(55)$. Пусть $x = 0,(55)$. Тогда $100x = 55,(55)$. Вычитаем: $100x - x = 55,(55) - 0,(55)$, то есть $99x = 55$. Значит, $x = \frac{55}{99} = \frac{5}{9}$. Итого: $1 + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$. 3) $0,1(2)$ — это $0,12222...$ Здесь период начинается не сразу. Пусть $x = 0,1(2)$. Тогда $10x = 1,(2)$ и $100x = 12,(2)$. Вычитаем: $100x - 10x = 12,(2) - 1,(2)$, то есть $90x = 11$. Значит, $x = \frac{11}{90}$. 4) $-0,(8)$ — аналогично первому примеру, только с минусом. $x = 0,(8)$, $10x = 8,(8)$. $10x - x = 8$, значит $9x = 8$, и $x = \frac{8}{9}$. Поэтому $-0,(8) = -\frac{8}{9}$. 5) $-3,(27)$ — это $-3,272727...$ Представим как $-3 - 0,(27)$. Пусть $x = 0,(27)$. Тогда $100x = 27,(27)$. Вычитаем: $100x - x = 27,(27) - 0,(27)$, то есть $99x = 27$. Значит, $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. Итого: $-3 - \frac{3}{11} = -\frac{33}{11} - \frac{3}{11} = -\frac{36}{11}$. 6) $-2,3(82)$ — это $-2,3828282...$ Представим как $-2,3 - 0,0(82)$. Сначала разберемся с $0,0(82)$. Пусть $x = 0,0(82)$. Тогда $10x = 0,(82)$ и $1000x = 82,(82)$. Вычитаем: $1000x - 10x = 82,(82) - 0,(82)$, то есть $990x = 82$. Значит, $x = \frac{82}{990} = \frac{41}{495}$. Теперь возвращаемся к исходному: $-2,3 - \frac{41}{495} = -\frac{23}{10} - \frac{41}{495} = -\frac{23 \cdot 49,5 + 41}{495} = -\frac{1138,5 + 41}{495} = -\frac{1179,5}{495}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 2: $- \frac{2359}{990}$.