Найди угол между прямыми ОС и В1D, если точка О - центр грани AA1В1В куба АBCDA1В1C1D1.

Допущение: Грань AA1В1В — это квадрат.\ Введём систему координат так, чтобы начало координат было в точке А. Пусть сторона куба равна 2a. Координаты вершин: * A = (0; 0; 0) * B = (2a; 0; 0) * C = (2a; 2a; 0) * D = (0; 2a; 0) * A1 = (0; 0; 2a) * B1 = (2a; 0; 2a) * C1 = (2a; 2a; 2a) * D1 = (0; 2a; 2a) Точка О — центр грани AA1B1B. Значит, её координаты — это среднее арифметическое координат вершин этой грани: $$O = \left(\frac{0+2a+2a+0}{4}; \frac{0+0+0+0}{4}; \frac{0+0+2a+2a}{4}\right) = (a; 0; a)$$ Вектор $\vec{OC}$: $$\vec{OC} = C - O = (2a - a; 2a - 0; 0 - a) = (a; 2a; -a)$$ Вектор $\vec{B1D}$: $$\vec{B1D} = D - B1 = (0 - 2a; 2a - 0; 0 - 2a) = (-2a; 2a; -2a)$$ Найдём скалярное произведение векторов $\vec{OC}$ и $\vec{B1D}$: $$\vec{OC} \cdot \vec{B1D} = (a)(-2a) + (2a)(2a) + (-a)(-2a) = -2a^2 + 4a^2 + 2a^2 = 4a^2$$ Найдём длины векторов: $$|\vec{OC}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$$ $$|\vec{B1D}| = \sqrt{(-2a)^2 + (2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 4a^2} = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}$$ Косинус угла $\alpha$ между прямыми $\vec{OC}$ и $\vec{B1D}$: $$\cos \alpha = \frac{\vec{OC} \cdot \vec{B1D}}{|\vec{OC}| \cdot |\vec{B1D}|} = \frac{4a^2}{a\sqrt{6} \cdot 2a\sqrt{3}} = \frac{4a^2}{2a^2\sqrt{18}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ Тогда угол $\alpha$: $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$$ **Ответ:** $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$