Упрости выражение $\left(1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y}\right)$

Надо упростить это выражение: $$ \left(1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y}\right) $$ Для начала преобразуем каждую часть выражения: 1. Приведем $1$ к общему знаменателю с дробью $\frac{2y+1}{2y}$: $$ 1 + \frac{2y+1}{2y} = \frac{2y}{2y} + \frac{2y+1}{2y} = \frac{2y + 2y + 1}{2y} = \frac{4y+1}{2y} $$ 2. Упростим вторую дробь $\frac{4y^2+10y}{4y^2+2y}$: Вынесем общий множитель $y$ из числителя и знаменателя: $$ \frac{y(4y+10)}{y(4y+2)} = \frac{4y+10}{4y+2} $$ Затем вынесем $2$ из числителя и знаменателя: $$ \frac{2(2y+5)}{2(2y+1)} = \frac{2y+5}{2y+1} $$ Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $$ \frac{4y+1}{2y} - \frac{2y+5}{2y+1} $$ Приведем эти две дроби к общему знаменателю $(2y)(2y+1)$: $$ \frac{(4y+1)(2y+1)}{2y(2y+1)} - \frac{(2y+5)(2y)}{2y(2y+1)} $$ Раскроем скобки в числителях: Числитель первой дроби: $$ (4y+1)(2y+1) = 4y \cdot 2y + 4y \cdot 1 + 1 \cdot 2y + 1 \cdot 1 = 8y^2 + 4y + 2y + 1 = 8y^2 + 6y + 1 $$ Числитель второй дроби: $$ (2y+5)(2y) = 2y \cdot 2y + 5 \cdot 2y = 4y^2 + 10y $$ Теперь вычтем один числитель из другого: $$ (8y^2 + 6y + 1) - (4y^2 + 10y) = 8y^2 + 6y + 1 - 4y^2 - 10y $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (8y^2 - 4y^2) + (6y - 10y) + 1 = 4y^2 - 4y + 1 $$ Заметим, что $4y^2 - 4y + 1$ это квадрат разности: $(2y-1)^2$. Знаменатель выражения будет: $$ 2y(2y+1) = 4y^2 + 2y $$ Итоговое выражение: $$ \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} $$ **Ответ:** $$\frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)}$$