Реши неравенства, представленные в задании.

Надо решить неравенства. a) $$(x - 2)^2 (x - 1) > 0$$ Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = 2$. Чтобы произведение было больше нуля, нужно, чтобы $$(x - 1) > 0 \Rightarrow x > 1$$ Но нужно исключить случай, когда $x=2$, потому что тогда всё выражение равно нулю, а нам нужно строго больше нуля. Значит, $x \ne 2$. **Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$** б) $$(x + 4)(x + 3)^2 < 0$$ Выражение $(x + 3)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = -3$. Чтобы произведение было меньше нуля, нужно, чтобы $$(x + 4) < 0 \Rightarrow x < -4$$ При этом $x \ne -3$, но это условие уже входит в $x < -4$. **Ответ: $x \in (-\infty; -4)$** в) $$(3x - 1)^3 (x + 1) > 0$$ Рассмотрим множители: 1. $(3x - 1)^3$: меняет знак в $x = \frac{1}{3}$. 2. $(x + 1)$: меняет знак в $x = -1$. Используем метод интервалов. Корни: $x = -1$ и $x = \frac{1}{3}$. ---($-1$)---($\frac{1}{3}$)--- Возьмём $x = 0$: $(3 \cdot 0 - 1)^3 (0 + 1) = (-1)^3 \cdot 1 = -1 < 0$. Значит, интервал $(-1; \frac{1}{3})$ отрицательный. При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $(3 \cdot 1 - 1)^3 (1 + 1) = 2^3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16 > 0$. При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(3 \cdot (-2) - 1)^3 (-2 + 1) = (-7)^3 \cdot (-1) = -343 \cdot (-1) = 343 > 0$. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. **Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$** г) $$(x + 2)(5x + 3)^2 < 0$$ Выражение $(5x + 3)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = -\frac{3}{5}$. Чтобы произведение было меньше нуля, нужно, чтобы $$(x + 2) < 0 \Rightarrow x < -2$$ При этом $x \ne -\frac{3}{5}$, но это условие уже входит в $x < -2$. **Ответ: $x \in (-\infty; -2)$** д) $$(4 + x)(9 - x^2)(x^2 - 2x + 1) > 0$$ Преобразуем множители: 1. $(4 + x) = (x + 4)$ 2. $(9 - x^2) = (3 - x)(3 + x)$ 3. $(x^2 - 2x + 1) = (x - 1)^2$ Неравенство становится: $$(x + 4)(3 - x)(3 + x)(x - 1)^2 > 0$$ или $$-(x + 4)(x - 3)(x + 3)(x - 1)^2 > 0$$ Поделим на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x + 4)(x - 3)(x + 3)(x - 1)^2 < 0$$ Корни: $x = -4$, $x = 3$, $x = -3$, $x = 1$. Корень $x = 1$ является корнем четной кратности, так как множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, за исключением $x=1$, где он равен 0. Используем метод интервалов. Точки: $-4$, $-3$, $1$, $3$. ---($-4$)---($-3$)---($1$)---($3$)--- Рассмотрим знаки: При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+4)(4-3)(4+3)(4-1)^2 = 8 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 3^2 > 0$. (Для исходного неравенства: $-(+) > 0$, что неверно) Для преобразованного неравенства: $(x + 4)(x - 3)(x + 3)(x - 1)^2 < 0$ При $x > 3$: $(+) (+) (+) (+) = (+) \not< 0$ При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $(+)(-) (+) (+) = (-) < 0$ При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $(+)(-) (+) (+) = (-) < 0$. (Множитель $(x-1)^2$ не меняет знак) При $-4 < x < -3$ (например, $x=-3.5$): $(+)(-) (-) (+) = (+) \not< 0$ При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-)(-) (-) (+) = (-) < 0$ Нам нужно, чтобы преобразованное выражение было меньше нуля, и исключаем $x=1$ для строгого неравенства. **Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1) \cup (1; 3)$** е) $$(x - 1)(25 - x^2)(x^2 - 4x + 4) > 0$$ Преобразуем множители: 1. $(x - 1)$ 2. $(25 - x^2) = (5 - x)(5 + x)$ 3. $(x^2 - 4x + 4) = (x - 2)^2$ Неравенство становится: $$(x - 1)(5 - x)(5 + x)(x - 2)^2 > 0$$ или $$-(x - 1)(x - 5)(x + 5)(x - 2)^2 > 0$$ Поделим на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 1)(x - 5)(x + 5)(x - 2)^2 < 0$$ Корни: $x = 1$, $x = 5$, $x = -5$, $x = 2$. Корень $x = 2$ является корнем четной кратности. Используем метод интервалов. Точки: $-5$, $1$, $2$, $5$. ---($-5$)---($1$)---($2$)---($5$)--- Рассмотрим знаки для преобразованного неравенства: $(x - 1)(x - 5)(x + 5)(x - 2)^2 < 0$ При $x > 5$: $(+) (+) (+) (+) = (+) \not< 0$ При $2 < x < 5$ (например, $x=3$): $(+) (-) (+) (+) = (-) < 0$ При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(+) (-) (+) (+) = (-) < 0$. (Множитель $(x-2)^2$ не меняет знак) При $-5 < x < 1$ (например, $x=0$): $(-) (-) (+) (+) = (+) \not< 0$ При $x < -5$ (например, $x=-6$): $(-)(-) (-) (+) = (-) < 0$ Нам нужно, чтобы преобразованное выражение было меньше нуля, и исключаем $x=2$ для строгого неравенства. **Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; 2) \cup (2; 5)$** ж) $$(3x - 7)(x^2 + 2x + 2) < 0$$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 + 2x + 2$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, то $x^2 + 2x + 2 > 0$ для всех $x$. Значит, чтобы неравенство было меньше нуля, нужно, чтобы $$(3x - 7) < 0 \Rightarrow 3x < 7 \Rightarrow x < \frac{7}{3}$$ **Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3})$** з) $$(5x - 8)(x^2 - 4x + 5) > 0$$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 4x + 5$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, то $x^2 - 4x + 5 > 0$ для всех $x$. Значит, чтобы неравенство было больше нуля, нужно, чтобы $$(5x - 8) > 0 \Rightarrow 5x > 8 \Rightarrow x > \frac{8}{5}$$ **Ответ: $x \in (\frac{8}{5}; +\infty)$** и) $$(x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) < 0$$ Рассмотрим множители: 1. $x^2 + 4x + 5$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как $a = 1 > 0$, то $x^2 + 4x + 5 > 0$ для всех $x$. 2. $x^2 - 4x + 3$: найдем корни: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. $x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$. $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Значит, $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$. 3. $(x - 1)$ Неравенство становится: $$(x^2 + 4x + 5)(x - 1)(x - 3)(x - 1) < 0$$ $$(x^2 + 4x + 5)(x - 1)^2 (x - 3) < 0$$ Так как $(x^2 + 4x + 5) > 0$ для всех $x$ и $(x - 1)^2 \ge 0$ для всех $x$, то неравенство сводится к $$(x - 3) < 0$$ при условии, что $(x - 1)^2 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Итак, $x < 3$, но $x \ne 1$. **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3)$** к) $$(-x^2 + 6x - 10)(x^2 - 5x + 6)(x - 2) \ge 0$$ Рассмотрим множители: 1. $-x^2 + 6x - 10$: вынесем $-1$: $-(x^2 - 6x + 10)$. Найдем дискриминант $x^2 - 6x + 10$: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0$. Так как $a = 1 > 0$, то $x^2 - 6x + 10 > 0$ для всех $x$. Значит, $-x^2 + 6x - 10 < 0$ для всех $x$. 2. $x^2 - 5x + 6$: найдем корни: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. 3. $(x - 2)$ Неравенство становится: $$-(x^2 - 6x + 10)(x - 2)(x - 3)(x - 2) \ge 0$$ $$-(x^2 - 6x + 10)(x - 2)^2 (x - 3) \ge 0$$ Так как $(x^2 - 6x + 10) > 0$ для всех $x$, и $(x - 2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то неравенство можно упростить. Разделим на $-(x^2 - 6x + 10)$ (отрицательное число) и поменяем знак неравенства: $$(x - 2)^2 (x - 3) \le 0$$ Рассмотрим корни: $x = 2$ (четная кратность), $x = 3$. ---($2$)---($3$)--- При $x > 3$: $(+)(+) = (+) \not\le 0$ При $x < 3$ (например, $x=0$): $(+)(-) = (-) \le 0$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то $x=2$ является решением. Итак, $x \le 3$. **Ответ: $x \in (-\infty; 3]$**