Докажи теорему: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Докажи, что если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. **Доказательство:** 1. Рассмотрим прямую $a$, которая перпендикулярна прямым $p$ и $q$, лежащим в плоскости $\alpha$ и пересекающимся в точке $O$. 2. Для доказательства того, что $a \perp \alpha$, нам нужно показать, что прямая $a$ перпендикулярна любой произвольной прямой $m$ плоскости $\alpha$ (рисунок 48, а). 3. Рассмотрим два случая: * **Случай 1:** Прямая $m$ проходит через точку $O$ (рисунок 48, б). * Проведем через точку $O$ прямую $l$, параллельную прямой $m$. Если прямая $m$ проходит через $O$, то в качестве $l$ возьмем саму прямую $m$. * Отметим на прямой $a$ точки $A$ и $B$ так, чтобы точка $O$ была серединой отрезка $AB$. * В плоскости $\alpha$ проведем прямую, пересекающую прямые $p$, $q$ и $m$ (или $l$) в точках $C$, $D$ и $E$ соответственно (рисунок 48, в). * Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$. Так как $AO=OB$ и $a \perp p$, $a \perp q$, то $\triangle AOC \cong \triangle BOC$ и $\triangle AOD \cong \triangle BOD$. Из этого следует, что $AC=BC$ и $AD=BD$. * Тогда $\triangle ACD \cong \triangle BCD$ по трем сторонам (сторона $CD$ общая). Значит, $\angle ACE = \angle BCE$. * Рассмотрим $\triangle ACE$ и $\triangle BCE$. У них $AC=BC$, $CE$ общая, $\angle ACE = \angle BCE$. Следовательно, $\triangle ACE \cong \triangle BCE$ по двум сторонам и углу между ними. * Из равенства этих треугольников следует, что $AE=BE$. * Тогда $\triangle AOE \cong \triangle BOE$ по трем сторонам (сторона $OE$ общая). Значит, $\angle AOE = \angle BOE = 90^\circ$. Это означает, что $a \perp m$. * **Случай 2:** Прямая $m$ не проходит через точку $O$. * Проведем через точку $O$ прямую $k$ параллельно прямой $m$. По первому случаю, $a \perp k$. * Так как $m \parallel k$ и $a \perp k$, то прямая $a$ также будет перпендикулярна прямой $m$. Поскольку прямая $a$ перпендикулярна любой произвольной прямой $m$ в плоскости $\alpha$, то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.