1. Тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, достигло максимальной высоты 20 м. С какой по модулю скоростью двигалось тело на высоте 10 м? Сопротивление воздуха не учитывайте.

1. Чтобы найти скорость тела на максимальной высоте, нужно использовать закон сохранения энергии. На максимальной высоте вся кинетическая энергия переходит в потенциальную. Но здесь тело брошено вверх, значит на максимальной высоте его скорость будет равна 0. Если же имеется в виду скорость тела в момент, когда оно оказалось на высоте 10 м, то: Из закона сохранения энергии: потенциальная энергия внизу перешла в кинетическую и потенциальную на высоте 10 м. $mgh_{max} = mgh + \frac{mv^2}{2}$ $v = \sqrt{2g(h_{max} - h)}$ где $h_{max}$ — начальная высота (откуда брошено, но в задаче максимальная высота 10 м. Если имеется в виду, что тело брошено вверх и поднялось на высоту 10м) Давай считать, что тело брошено с поверхности земли и поднялось на максимальную высоту 10 м. Поэтому потенциальная энергия на максимальной высоте 10 м будет: $E_p = mgh = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = 100 \text{ Дж}$. Если вопрос в том, с какой скоростью двигалось тело на высоте 10 м, но это его максимальная высота, то скорость будет 0. Если это не максимальная высота, то нужно знать, с какой начальной скоростью оно было брошено. Поскольку тело достигает максимальной высоты 10 м, это означает, что в этой точке его вертикальная скорость становится равной нулю. **Ответ: 0 м/с** (Если имеется в виду максимальная высота). Если в задаче опечатка, и 10 м — это начальная скорость 10 м/с, то тогда: Начальная кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{1 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{2} = 50 \text{ Дж}$. Начальная потенциальная энергия: $E_p = mgh_0 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0 = 0 \text{ Дж}$. При подъеме на высоту $h$ скорость будет $v_h$. Полная механическая энергия сохраняется. $E_{полная} = E_{k_0} + E_{p_0} = E_{k_h} + E_{p_h}$ $50 + 0 = \frac{mv_h^2}{2} + mgh$ Если сопротивление воздуха не учитывается, то механическая энергия сохраняется. При подъеме на максимальную высоту вся кинетическая энергия переходит в потенциальную. $E_{k_{начальная}} = E_{p_{максимальная}}$ $\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$ $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100}{20} = 5 \text{ м}$. Тогда максимальная высота будет 5 м. И скорость на максимальной высоте 0 м/с. Но в задаче написано: "Тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, достигло максимальной высоты 20 м. С какой по модулю скоростью двигалось тело на высоте 10 м? Сопротивление воздуха не учитывайте." На максимальной высоте $H = 20 \text{ м}$ скорость тела $v_H = 0$. Найдем начальную скорость $v_0$ с которой бросили тело: $\frac{mv_0^2}{2} = mgH$ $v_0 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}} = \sqrt{400} = 20 \text{ м/с}$. Теперь найдем скорость $v$ на высоте $h = 10 \text{ м}$. Используем закон сохранения энергии: $\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$ $v_0^2 = v^2 + 2gh$ $v^2 = v_0^2 - 2gh = (20 \text{ м/с})^2 - 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = 400 - 200 = 200 \text{ м}^2/\text{с}^2$ $v = \sqrt{200} \approx 14.14 \text{ м/с}$. Среди вариантов есть $14.1 \text{ м/с}$. **Ответ: 3) 14.1 м/с** 2. Скорость брошенного мяча непосредственно перед ударом о стену была вдвое больше его скорости сразу после удара. Какое количество теплоты выделилось при ударе, если перед ударом кинетическая энергия мяча была равна 20 Дж? Пусть скорость мяча перед ударом $v_1$, а после удара $v_2$. Дано: $v_1 = 2v_2$. Кинетическая энергия перед ударом $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} = 20 \text{ Дж}$. Выделившаяся теплота $Q$ — это разность кинетических энергий до и после удара: $Q = E_{k1} - E_{k2}$ $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$ Мы знаем, что $v_1 = 2v_2$, значит $v_2 = \frac{v_1}{2}$. Тогда $E_{k2} = \frac{m(\frac{v_1}{2})^2}{2} = \frac{m\frac{v_1^2}{4}}{2} = \frac{1}{4} \frac{mv_1^2}{2} = \frac{1}{4} E_{k1}$. $E_{k2} = \frac{1}{4} \cdot 20 \text{ Дж} = 5 \text{ Дж}$. $Q = 20 \text{ Дж} - 5 \text{ Дж} = 15 \text{ Дж}$. **Ответ: 2) 15 Дж** 3. С балкона высотой 20 м на поверхность земли упал мяч массой 0,2 кг. Из-за сопротивления воздуха скорость мяча у поверхности земли оказалась на 20 % меньше скорости тела, свободно падающего с высоты 20 м. Импульс тела в момент падения равен. Сначала найдем скорость свободно падающего тела с высоты $H = 20 \text{ м}$. $v_{свободного} = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}} = \sqrt{400} = 20 \text{ м/с}$. Скорость мяча у поверхности земли $v_{мяча}$ на 20% меньше скорости свободно падающего тела: $v_{мяча} = v_{свободного} - 0.20 \cdot v_{свободного} = 0.8 \cdot v_{свободного} = 0.8 \cdot 20 \text{ м/с} = 16 \text{ м/с}$. Импульс тела в момент падения $p = mv_{мяча}$. $p = 0.2 \text{ кг} \cdot 16 \text{ м/с} = 3.2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$. **Ответ: 3) 3.2 кг · м/с**