Найди длину свешивающейся части линейки, если вся система находится в равновесии. Известно, что общая длина линейки 75 см. К свешивающемуся концу подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы свешивающейся части линейки.

Допущение: Ось вращения находится на краю стола, куда опирается линейка. Пусть $L$ — общая длина линейки, $l$ — длина свешивающейся части. Тогда длина части линейки на столе будет $L-l$. Масса всей линейки $M$. Так как линейка однородная, её масса распределена равномерно. Масса свешивающейся части $m_1 = M \frac{l}{L}$. Масса части линейки на столе $m_2 = M \frac{L-l}{L}$. Центр тяжести всей линейки находится на расстоянии $\frac{L}{2}$ от любого из концов. Центр тяжести свешивающейся части находится на расстоянии $\frac{l}{2}$ от края стола. Центр тяжести части линейки на столе находится на расстоянии $\frac{L-l}{2}$ от края стола (в сторону стола). Груз подвешен к свешивающемуся концу, его масса $m_г = 2m_1 = 2M \frac{l}{L}$. Для равновесия системы сумма моментов сил относительно оси вращения (края стола) должна быть равна нулю. Момент от свешивающейся части линейки: $M_1 = m_1 g \frac{l}{2} = M \frac{l}{L} g \frac{l}{2} = \frac{Mgl^2}{2L}$. Момент от груза: $M_г = m_г g l = 2M \frac{l}{L} g l = \frac{2Mgl^2}{L}$. Момент от части линейки, лежащей на столе: $M_2 = m_2 g \frac{L-l}{2} = M \frac{L-l}{L} g \frac{L-l}{2} = \frac{Mg(L-l)^2}{2L}$. Уравнение равновесия: $M_1 + M_г = M_2$ $\frac{Mgl^2}{2L} + \frac{2Mgl^2}{L} = \frac{Mg(L-l)^2}{2L}$ Разделим все на $\frac{Mg}{L}$ (поскольку $M, g, L \neq 0$): $\frac{l^2}{2} + 2l^2 = \frac{(L-l)^2}{2}$ $l^2 + 4l^2 = (L-l)^2$ $5l^2 = L^2 - 2Ll + l^2$ $4l^2 + 2Ll - L^2 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $l$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $l = \frac{-2L \pm \sqrt{(2L)^2 - 4(4)(-L^2)}}{2(4)}$ $l = \frac{-2L \pm \sqrt{4L^2 + 16L^2}}{8}$ $l = \frac{-2L \pm \sqrt{20L^2}}{8}$ $l = \frac{-2L \pm 2L\sqrt{5}}{8}$ $l = \frac{-L \pm L\sqrt{5}}{4}$ Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $l = \frac{L(\sqrt{5} - 1)}{4}$ Подставим значение $L = 75$ см: $l = \frac{75(\sqrt{5} - 1)}{4} \approx \frac{75(2.236 - 1)}{4} = \frac{75(1.236)}{4} = \frac{92.7}{4} = 23.175$ см **Ответ:** Длина свешивающейся части линейки примерно $23.175$ см.