Реши систему уравнений: $$ \begin{cases} u - v = 6(u + v) \\ u^2 - v^2 = 6 \end{cases} $$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u - v = 6(u + v) \\ u^2 - v^2 = 6 \end{cases} $$ Из первого уравнения: $$ u - v = 6u + 6v $$ $$ u - 6u = 6v + v $$ $$ -5u = 7v $$ $$ u = -\frac{7}{5}v $$ Второе уравнение можно разложить как разность квадратов: $$ (u - v)(u + v) = 6 $$ Мы знаем, что $u - v = 6(u + v)$. Подставим это в разложенное второе уравнение: $$ 6(u + v)(u + v) = 6 $$ $$ 6(u + v)^2 = 6 $$ $$ (u + v)^2 = 1 $$ Значит, есть два случая: 1. $u + v = 1$ 2. $u + v = -1$ Рассмотрим первый случай: $u + v = 1$ Из первого уравнения системы, $u - v = 6(u + v)$, следует $u - v = 6 \cdot 1$, то есть $u - v = 6$. Теперь у нас система: $$ \begin{cases} u + v = 1 \\ u - v = 6 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ (u + v) + (u - v) = 1 + 6 $$ $$ 2u = 7 $$ $$ u = \frac{7}{2} $$ Подставим $u$ в первое уравнение $u + v = 1$: $$ \frac{7}{2} + v = 1 $$ $$ v = 1 - \frac{7}{2} $$ $$ v = \frac{2}{2} - \frac{7}{2} $$ $$ v = -\frac{5}{2} $$ Проверим эти значения во втором уравнении $u^2 - v^2 = 6$: $$ (\frac{7}{2})^2 - (-\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4} - \frac{25}{4} = \frac{24}{4} = 6 $$ Верно. Рассмотрим второй случай: $u + v = -1$ Из первого уравнения системы, $u - v = 6(u + v)$, следует $u - v = 6 \cdot (-1)$, то есть $u - v = -6$. Теперь у нас система: $$ \begin{cases} u + v = -1 \\ u - v = -6 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ (u + v) + (u - v) = -1 + (-6) $$ $$ 2u = -7 $$ $$ u = -\frac{7}{2} $$ Подставим $u$ в первое уравнение $u + v = -1$: $$ -\frac{7}{2} + v = -1 $$ $$ v = -1 + \frac{7}{2} $$ $$ v = -\frac{2}{2} + \frac{7}{2} $$ $$ v = \frac{5}{2} $$ Проверим эти значения во втором уравнении $u^2 - v^2 = 6$: $$ (-\frac{7}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4} - \frac{25}{4} = \frac{24}{4} = 6 $$ Верно. **Ответ:** $(\frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$ и $(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$