Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 ч 40 мин. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, то он прибыл бы в В на 2 ч 8 мин позже. Найди расстояние между городами (в километрах).

Пусть $S$ — расстояние между городами A и B (в км), $v$ — изначальная скорость поезда (в км/ч). Из условия задачи известно: 1. Поезд проходит расстояние за 10 ч 40 мин. Переведем 10 ч 40 мин в часы: $10 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 10 + \frac{40}{60} = 10 + \frac{2}{3} = \frac{32}{3}$ ч. Значит, $S = v \cdot \frac{32}{3}$. Отсюда $v = \frac{3S}{32}$. 2. Если скорость поезда была на 10 км/ч меньше ($v - 10$), то он прибыл бы на 2 ч 8 мин позже. Переведем 2 ч 8 мин в часы: $2 \text{ ч } 8 \text{ мин } = 2 + \frac{8}{60} = 2 + \frac{2}{15} = \frac{32}{15}$ ч. Новое время в пути: $\frac{32}{3} + \frac{32}{15} = \frac{5 \cdot 32 + 32}{15} = \frac{6 \cdot 32}{15} = \frac{2 \cdot 32}{5} = \frac{64}{5}$ ч. Значит, $S = (v - 10) \cdot \frac{64}{5}$. Теперь подставим выражение для $v$ из первого уравнения во второе: $$S = \left(\frac{3S}{32} - 10\right) \cdot \frac{64}{5}$$ Раскроем скобки: $$S = \frac{3S}{32} \cdot \frac{64}{5} - 10 \cdot \frac{64}{5}$$ Упростим: $$S = \frac{3S \cdot 2}{5} - 10 \cdot \frac{64}{5}$$ $$S = \frac{6S}{5} - 128$$ Перенесем $S$ в одну сторону: $$128 = \frac{6S}{5} - S$$ $$128 = \frac{6S - 5S}{5}$$ $$128 = \frac{S}{5}$$ Найдем $S$: $$S = 128 \cdot 5$$ $$S = 640$$ **Ответ: 640**