Реши неравенства: 143. а) $\frac{x-1}{x-2} > 0$; б) $\frac{x-4}{x-2} > 0$; в) $\frac{x+3}{x-5} > 0$; г) $\frac{x-7}{x+8} > 0$. 144. а) $\frac{x-6}{2-x} > 0$; б) $\frac{4-x}{x-9} > 0$; в) $\frac{2x+4}{4x+2} > 0$; г) $\frac{3x+6}{9x-3} > 0$. 145. а) $\frac{2x+3}{2x+3} < 0$; б) $\frac{7+x}{4x-3} < 0$; в) $\frac{12x-6}{5x-4} < 0$; г) $\frac{7x-1}{2x+5} < 0$.

1. a) Чтобы дробь $\frac{x-1}{x-2}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $x-1 > 0$ и $x-2 > 0$. Отсюда $x > 1$ и $x > 2$. Объединяя, получаем $x > 2$. Случай 2: $x-1 < 0$ и $x-2 < 0$. Отсюда $x < 1$ и $x < 2$. Объединяя, получаем $x < 1$. **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$** б) Чтобы дробь $\frac{x-4}{x-2}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $x-4 > 0$ и $x-2 > 0$. Отсюда $x > 4$ и $x > 2$. Объединяя, получаем $x > 4$. Случай 2: $x-4 < 0$ и $x-2 < 0$. Отсюда $x < 4$ и $x < 2$. Объединяя, получаем $x < 2$. **Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$** в) Чтобы дробь $\frac{x+3}{x-5}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $x+3 > 0$ и $x-5 > 0$. Отсюда $x > -3$ и $x > 5$. Объединяя, получаем $x > 5$. Случай 2: $x+3 < 0$ и $x-5 < 0$. Отсюда $x < -3$ и $x < 5$. Объединяя, получаем $x < -3$. **Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$** г) Чтобы дробь $\frac{x-7}{x+8}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $x-7 > 0$ и $x+8 > 0$. Отсюда $x > 7$ и $x > -8$. Объединяя, получаем $x > 7$. Случай 2: $x-7 < 0$ и $x+8 < 0$. Отсюда $x < 7$ и $x < -8$. Объединяя, получаем $x < -8$. **Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (7; +\infty)$** 2. а) Чтобы дробь $\frac{x-6}{2-x}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $x-6 > 0$ и $2-x > 0$. Отсюда $x > 6$ и $x < 2$. Это невозможно. Случай 2: $x-6 < 0$ и $2-x < 0$. Отсюда $x < 6$ и $x > 2$. Объединяя, получаем $2 < x < 6$. **Ответ: $x \in (2; 6)$** б) Чтобы дробь $\frac{4-x}{x-9}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Случай 1: $4-x > 0$ и $x-9 > 0$. Отсюда $x < 4$ и $x > 9$. Это невозможно. Случай 2: $4-x < 0$ и $x-9 < 0$. Отсюда $x > 4$ и $x < 9$. Объединяя, получаем $4 < x < 9$. **Ответ: $x \in (4; 9)$** в) Чтобы дробь $\frac{2x+4}{4x+2}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Найдем корни числителя и знаменателя: $2x+4=0 \Rightarrow x=-2$; $4x+2=0 \Rightarrow x=-0.5$. Разобьем числовую ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -0.5)$, $(-0.5; +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < -2$ (например, $-3$): $\frac{2(-3)+4}{4(-3)+2} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5} > 0$. - При $-2 < x < -0.5$ (например, $-1$): $\frac{2(-1)+4}{4(-1)+2} = \frac{2}{-2} = -1 < 0$. - При $x > -0.5$ (например, $0$): $\frac{2(0)+4}{4(0)+2} = \frac{4}{2} = 2 > 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-0.5; +\infty)$** г) Чтобы дробь $\frac{3x+6}{9x-3}$ была больше 0, числитель и знаменатель должны быть одного знака. Найдем корни числителя и знаменателя: $3x+6=0 \Rightarrow x=-2$; $9x-3=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$. Разобьем числовую ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < -2$ (например, $-3$): $\frac{3(-3)+6}{9(-3)-3} = \frac{-3}{-30} = \frac{1}{10} > 0$. - При $-2 < x < \frac{1}{3}$ (например, $0$): $\frac{3(0)+6}{9(0)-3} = \frac{6}{-3} = -2 < 0$. - При $x > \frac{1}{3}$ (например, $1$): $\frac{3(1)+6}{9(1)-3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} > 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$** 3. а) Чтобы дробь $\frac{2x+3}{2x+3}$ была меньше 0, числитель и знаменатель должны быть разных знаков. Но числитель и знаменатель здесь одинаковые, поэтому дробь всегда равна 1 (при $2x+3 \ne 0$). Поскольку $1 \not< 0$, решений нет. **Ответ: Решений нет** б) Чтобы дробь $\frac{7+x}{4x-3}$ была меньше 0, числитель и знаменатель должны быть разных знаков. Найдем корни числителя и знаменателя: $7+x=0 \Rightarrow x=-7$; $4x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{4}$. Разобьем числовую ось на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; \frac{3}{4})$, $(\frac{3}{4}; +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < -7$ (например, $-10$): $\frac{7+(-10)}{4(-10)-3} = \frac{-3}{-43} > 0$. - При $-7 < x < \frac{3}{4}$ (например, $0$): $\frac{7+0}{4(0)-3} = \frac{7}{-3} < 0$. - При $x > \frac{3}{4}$ (например, $1$): $\frac{7+1}{4(1)-3} = \frac{8}{1} > 0$. **Ответ: $x \in (-7; \frac{3}{4})$** в) Чтобы дробь $\frac{12x-6}{5x-4}$ была меньше 0, числитель и знаменатель должны быть разных знаков. Найдем корни числителя и знаменателя: $12x-6=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$; $5x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{5}$. Разобьем числовую ось на интервалы: $(-\infty; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$, $(\frac{4}{5}; +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < \frac{1}{2}$ (например, $0$): $\frac{12(0)-6}{5(0)-4} = \frac{-6}{-4} > 0$. - При $\frac{1}{2} < x < \frac{4}{5}$ (например, $0.6$): $\frac{12(0.6)-6}{5(0.6)-4} = \frac{7.2-6}{3-4} = \frac{1.2}{-1} < 0$. - При $x > \frac{4}{5}$ (например, $1$): $\frac{12(1)-6}{5(1)-4} = \frac{6}{1} > 0$. **Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$** г) Чтобы дробь $\frac{7x-1}{2x+5}$ была меньше 0, числитель и знаменатель должны быть разных знаков. Найдем корни числителя и знаменателя: $7x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{7}$; $2x+5=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$. Разобьем числовую ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{5}{2})$, $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$, $(\frac{1}{7}; +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < -\frac{5}{2}$ (например, $-3$): $\frac{7(-3)-1}{2(-3)+5} = \frac{-22}{-1} > 0$. - При $-\frac{5}{2} < x < \frac{1}{7}$ (например, $0$): $\frac{7(0)-1}{2(0)+5} = \frac{-1}{5} < 0$. - При $x > \frac{1}{7}$ (например, $1$): $\frac{7(1)-1}{2(1)+5} = \frac{6}{7} > 0$. **Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$**