Докажи, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. Найди это расстояние, если OK = 4,5 дм, AC = 6 дм, BD = 8 дм.

1. а) Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. Прямая $OK$ перпендикулярна плоскости ромба $ABCD$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны. Также, точка $O$ — центр ромба, равноудаленный от всех его сторон. Проведём из точки $O$ перпендикуляры к сторонам ромба. Пусть $OH_1 \perp AB$, $OH_2 \perp BC$, $OH_3 \perp CD$, $OH_4 \perp DA$. Так как $O$ — центр ромба, то $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4 = h$ (это радиус вписанной окружности). Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные отрезком $OK$, перпендикулярами из $O$ к сторонам ромба и отрезками, соединяющими точку $K$ с основаниями этих перпендикуляров. Например, $\triangle KOH_1$. В нём $OK$ — катет, $OH_1$ — катет. Расстояние от точки $K$ до прямой, содержащей сторону ромба, — это длина перпендикуляра, опущенного из $K$ на эту прямую. По теореме о трёх перпендикулярах, если $OK \perp (ABCD)$ и $OH_1 \perp AB$, то $KH_1 \perp AB$. Значит, $KH_1$ — это расстояние от $K$ до прямой $AB$. Поскольку $OK$ — общий катет для всех таких треугольников ($\triangle KOH_1$, $\triangle KOH_2$, $\triangle KOH_3$, $\triangle KOH_4$), а $OH_i$ равны, то по теореме Пифагора гипотенузы этих треугольников будут равны: $$KH_1 = \sqrt{OK^2 + OH_1^2}$$ $$KH_2 = \sqrt{OK^2 + OH_2^2}$$ и так далее. Поскольку $OK$ и $OH_i$ одинаковы для всех сторон, то и расстояния $KH_1 = KH_2 = KH_3 = KH_4$ равны. Что и требовалось доказать. б) Найдите это расстояние, если $OK = 4,5$ дм, $AC = 6$ дм, $BD = 8$ дм. Сначала найдём длину отрезка $OH_1$, который является радиусом вписанной окружности в ромб. Диагонали ромба делятся точкой пересечения $O$ пополам. Значит, $AO = AC/2 = 6/2 = 3$ дм и $BO = BD/2 = 8/2 = 4$ дм. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдём сторону ромба $AB$: $$AB^2 = AO^2 + BO^2$$ $$AB^2 = 3^2 + 4^2$$ $$AB^2 = 9 + 16$$ $$AB^2 = 25$$ $$AB = 5 \text{ дм}$$ Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей или как произведение стороны на высоту: $$S = \frac{1}{2} AC \cdot BD$$ $$S = AB \cdot h$$ где $h = 2 \cdot OH_1$ — высота ромба. Значит, $2S = AC \cdot BD = 2 \cdot AB \cdot OH_1$. $$OH_1 = \frac{AC \cdot BD}{2 \cdot AB}$$ $$OH_1 = \frac{6 \cdot 8}{2 \cdot 5}$$ $$OH_1 = \frac{48}{10}$$ $$OH_1 = 4,8 \text{ дм}$$ Теперь найдём расстояние от точки $K$ до стороны ромба, используя прямоугольный треугольник $KOH_1$: $$KH_1 = \sqrt{OK^2 + OH_1^2}$$ $$KH_1 = \sqrt{(4,5)^2 + (4,8)^2}$$ $$KH_1 = \sqrt{20,25 + 23,04}$$ $$KH_1 = \sqrt{43,29}$$ $$KH_1 = 6,58 \text{ дм (приблизительно)}$$ **Ответ:** б) Расстояние от точки $K$ до сторон ромба составляет примерно $6,58$ дм. 2. Найдите расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны ромба, если $AB = 25$ см, $\angle BAD = 60°$, $BM = 12,5$ см. Через вершину $B$ ромба $ABCD$ проведена прямая $BM$, перпендикулярная к его плоскости. Это значит, что $BM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ромба и проходящей через $B$. Расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны ромба, мы будем искать так же, как в предыдущей задаче: по теореме о трёх перпендикулярах. Расстояние от $M$ до прямой $BC$ — это длина отрезка $MB$, так как $MB \perp BC$ (поскольку $BM \perp (ABCD)$ и $BC$ лежит в этой плоскости). Значит, $d(M, BC) = BM = 12,5$ см. Расстояние от $M$ до прямой $AB$ — это также $MB$, так как $MB \perp AB$. Значит, $d(M, AB) = BM = 12,5$ см. Теперь найдём расстояние до прямых $CD$ и $AD$. Для прямой $AD$: Проведём перпендикуляр из $B$ к $AD$. Пусть это будет $BH$. Так как $ABCD$ — ромб, $AB = AD = 25$ см. Угол $\angle BAD = 60°$. Треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как угол $BAD=60°$, то $\triangle ABD$ — равносторонний. Значит, $BD = AB = 25$ см. Высота ромба, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, это $BH$. В равностороннем треугольнике $ABD$ высота $BH$ будет также медианой и биссектрисой. $$BH = AB \sin(\angle BAD)$$ $$BH = 25 \sin(60°)$$ $$BH = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$BH = \frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 21,65 \text{ см}$$ Теперь, по теореме о трёх перпендикулярах, так как $BM \perp (ABCD)$ и $BH \perp AD$, то $MH \perp AD$. Значит, $MH$ — это расстояние от $M$ до $AD$. В прямоугольном треугольнике $MBH$: $$MH = \sqrt{BM^2 + BH^2}$$ $$MH = \sqrt{(12,5)^2 + \left(\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$ $$MH = \sqrt{156,25 + \frac{625 \cdot 3}{4}}$$ $$MH = \sqrt{156,25 + \frac{1875}{4}}$$ $$MH = \sqrt{156,25 + 468,75}$$ $$MH = \sqrt{625}$$ $$MH = 25 \text{ см}$$ Расстояние до прямой $CD$: Аналогично, расстояние от $B$ до $CD$ будет такой же высотой $BH_1 = BH = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см. (Так как ромб имеет одинаковые высоты). Тогда расстояние от $M$ до $CD$ будет $MH_1 = MH = 25$ см. **Ответ:** Расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны ромба: - до $AB$: $12,5$ см - до $BC$: $12,5$ см - до $CD$: $25$ см - до $AD$: $25$ см