Выполни задания по геометрии из варианта 2. Для каждой задачи найди длины отрезков, используя свойства пересекающихся хорд и секущих.

1. Хорды окружности AK и ME пересекаются в точке O. Найти длину отрезка MO, если AO = 4 см, OE = 5 см, OK = 15 см. По свойству пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Значит, $AO \cdot OK = MO \cdot OE$. Подставляем известные значения: $4 \cdot 15 = MO \cdot 5$ $60 = MO \cdot 5$ $MO = \frac{60}{5}$ $MO = 12$ см. **Ответ: 12 см** 2. Хорды окружности AB и CP пересекаются в точке E. Найти длину отрезка PE и CE, если CP = 16 см, AE = 7 см, EB = 4 см. Снова используем свойство пересекающихся хорд: $AE \cdot EB = PE \cdot CE$ Мы знаем $AE = 7$ см, $EB = 4$ см. Значит, $AE \cdot EB = 7 \cdot 4 = 28$. Также известно, что $CP = PE + CE = 16$ см. Обозначим $PE = x$. Тогда $CE = 16 - x$. Подставляем в формулу: $x \cdot (16 - x) = 28$ $16x - x^2 = 28$ $x^2 - 16x + 28 = 0$ Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$ $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Если $PE = 14$ см, то $CE = 16 - 14 = 2$ см. Если $PE = 2$ см, то $CE = 16 - 2 = 14$ см. **Ответ: PE = 14 см, CE = 2 см или PE = 2 см, CE = 14 см** 3. Хорды окружности MK и CD пересекаются в точке А. Найти длину отрезка DA и AC, если MA = 6 см, AK = 15 см, CA : AD = 2 : 5. По свойству пересекающихся хорд: $MA \cdot AK = CA \cdot AD$ Мы знаем $MA = 6$ см, $AK = 15$ см. Значит, $MA \cdot AK = 6 \cdot 15 = 90$. Также известно, что $CA : AD = 2 : 5$. Пусть $CA = 2x$, тогда $AD = 5x$. Подставляем в формулу: $2x \cdot 5x = 90$ $10x^2 = 90$ $x^2 = \frac{90}{10}$ $x^2 = 9$ $x = 3$ (так как длина не может быть отрицательной) Теперь найдем длины отрезков DA и AC: $DA = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см $AC = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см **Ответ: DA = 15 см, AC = 6 см** 4. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены лучи АС и АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АВ = 4, ВС = 6, АК = 12. По свойству секущих, проведенных из одной точки вне окружности: $AB \cdot AC = AM \cdot AK$ Сначала найдем $AC$: $AC = AB + BC = 4 + 6 = 10$ см. Подставляем известные значения: $4 \cdot 10 = AM \cdot 12$ $40 = AM \cdot 12$ $AM = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ см. Теперь найдем $MK$: $MK = AK - AM = 12 - \frac{10}{3} = \frac{36}{3} - \frac{10}{3} = \frac{26}{3}$ см. **Ответ: АМ = $$\frac{10}{3}$$ см, МК = $$\frac{26}{3}$$ см** 5. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены лучи АС и АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если АВ = 2, АС = 8, длина отрезка АМ на 6 меньше длины отрезка АК. По свойству секущих, проведенных из одной точки вне окружности: $AB \cdot AC = AM \cdot AK$ Мы знаем $AB = 2$ см, $AC = 8$ см. Значит, $AB \cdot AC = 2 \cdot 8 = 16$. Пусть $AK = x$. Тогда $AM = x - 6$. Подставляем в формулу: $(x - 6) \cdot x = 16$ $x^2 - 6x = 16$ $x^2 - 6x - 16 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому $AK = x = 8$ см. Теперь найдем $AM$: $AM = AK - 6 = 8 - 6 = 2$ см. **Ответ: АМ = 2 см, АК = 8 см** 6. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены лучи АС и АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если АМ : АК = 3 : 5, АВ = 5, ВС = 7. По свойству секущих, проведенных из одной точки вне окружности: $AB \cdot AC = AM \cdot AK$ Сначала найдем $AC$: $AC = AB + BC = 5 + 7 = 12$ см. Мы знаем $AB = 5$ см, $AC = 12$ см. Значит, $AB \cdot AC = 5 \cdot 12 = 60$. Также известно, что $AM : AK = 3 : 5$. Пусть $AM = 3x$, тогда $AK = 5x$. Подставляем в формулу: $3x \cdot 5x = 60$ $15x^2 = 60$ $x^2 = \frac{60}{15}$ $x^2 = 4$ $x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной) Теперь найдем длины отрезков АМ и АК: $AM = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см $AK = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см **Ответ: АМ = 6 см, АК = 10 см**