Найди значение с по графику функции $y = ax^2 + bx + c$, изображенному на рисунке.

**11. Найди значение с по графику функции $y = ax^2 + bx + c$, изображенному на рисунке.** На графике видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$. Значение функции $y$ в этой точке равно $c$. Значит, $c = 1$. **Ответ: 1** **12. Площадь параллелограмма $S$ ($в м^2$) можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a, b$ — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и $\sin\alpha = 0,5$.** Даны стороны $a = 10$ м, $b = 12$ м и $\sin\alpha = 0,5$. Подставим эти значения в формулу: $$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$ $$S = 10 \cdot 12 \cdot 0,5$$ $$S = 120 \cdot 0,5$$ $$S = 60$$ **Ответ: 60** **13. Укажите решение неравенства $2x - 3(x - 7) \leq 3$.** Решим неравенство: $$2x - 3(x - 7) \leq 3$$ $$2x - 3x + 21 \leq 3$$ $$-x + 21 \leq 3$$ $$-x \leq 3 - 21$$ $$-x \leq -18$$ Разделим обе части на $-1$, при этом знак неравенства поменяется на противоположный: $$x \geq 18$$ Это соответствует интервалу $[18; +\infty)$. **Ответ: 3** **14. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на $5^\circ C$. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла $-8^\circ C$.** Температура уменьшается на $5^\circ C$ каждую минуту. За 9 минут температура уменьшится на: $$5^\circ C \cdot 9 = 45^\circ C$$ Начальная температура была $-8^\circ C$. Значит, через 9 минут температура будет: $$-8^\circ C - 45^\circ C = -53^\circ C$$ **Ответ: -53** **15. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 53$, $AC = 56$. Найдите длину медианы $BM$.** Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC$. Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой. Значит, $BM \perp AC$, и $M$ — середина $AC$. Тогда $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{56}{2} = 28$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BM^2 + MC^2$$ $$53^2 = BM^2 + 28^2$$ $$2809 = BM^2 + 784$$ $$BM^2 = 2809 - 784$$ $$BM^2 = 2025$$ $$BM = \sqrt{2025}$$ $$BM = 45$$ **Ответ: 45** **16. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $\angle C$, если $\angle A = 64^\circ$. Ответ дайте в градусах.** Если сторона $AC$ треугольника $ABC$ проходит через центр описанной окружности, то $AC$ является диаметром этой окружности. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит, $\angle B = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$64^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ$$ $$154^\circ + \angle C = 180^\circ$$ $$\angle C = 180^\circ - 154^\circ$$ $$\angle C = 26^\circ$$ **Ответ: 26** **17. В ромбе сторона равна 38, одна из диагоналей — $38\sqrt{3}$, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен $120^\circ$. Найдите площадь ромба, деленную на $\sqrt{3}$.** Для ромба можно использовать формулу площади $S = a^2 \sin\alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами. Дана сторона $a = 38$. Угол, лежащий напротив диагонали $38\sqrt{3}$, равен $120^\circ$. Это и есть один из углов ромба. Тогда площадь ромба: $$S = 38^2 \cdot \sin(120^\circ)$$ $$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 38^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1444 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 722\sqrt{3}$$ Нам нужно найти площадь ромба, деленную на $\sqrt{3}$: $$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{722\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 722$$ **Ответ: 722** **18. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображен треугольник. Найдите его площадь.** Для нахождения площади треугольника на клетчатой бумаге можно использовать формулу Пика, но проще воспользоваться стандартной формулой площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Основание треугольника можно выбрать по горизонтали. Длина основания равна 6 клеток. Высота, проведенная к этому основанию, равна 7 клеток. $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 42$$ $$S = 21$$ **Ответ: 21** **19. Укажите номера верных утверждений.** 1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию. **Верно.** В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. 2) Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника. **Неверно.** Диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника, но они не обязательно равны между собой. Равны только те, которые смежные по стороне. Например, треугольники, образованные диагоналями и противолежащими сторонами, будут равны, а смежные по вершине — нет (если прямоугольник не квадрат). 3) Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса. **Верно.** По определению круга, круг — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (центра круга) не превышает заданного неотрицательного числа (радиуса). Точка внутри круга имеет расстояние до центра, строго меньшее радиуса. **Ответ: 13** **20. Сократите дробь $\frac{x^3 + 2x^2 - 9x - 18}{(x - 3)(x + 2)}$.** Разложим числитель на множители. Сгруппируем слагаемые: $$x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2)$$ $$(x + 2)(x^2 - 9)$$ Далее используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для $x^2 - 9$: $$(x + 2)(x - 3)(x + 3)$$ Теперь подставим это в дробь: $$\frac{(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$$ Сократим общие множители $(x - 3)$ и $(x + 2)$ при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -2$: $$x + 3$$ **Ответ: $x + 3$** **21. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 120 км. Город $C$ находится между городами $A$ и $B$. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобиль, а через 36 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $C$ и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из $C$ в $A$, автомобиль прибыл в $B$. Найдите расстояние от $A$ до $C$.** Пусть расстояние от $A$ до $C$ равно $x$ км. Тогда расстояние от $C$ до $B$ равно $120 - x$ км. Скорость автомобиля $v_A$. Скорость мотоциклиста $v_M = 75$ км/ч. Автомобиль ехал из $A$ в $C$. Время, которое ему потребовалось, $t_A = \frac{x}{v_A}$. Мотоциклист выехал через 36 минут, что составляет $\frac{36}{60} = 0,6$ часа. Мотоциклист догнал автомобиль в $C$. Значит, время мотоциклиста до $C$ равно $t_M = \frac{x}{v_M} = \frac{x}{75}$. Из условия, что мотоциклист выехал позже, но догнал в $C$: $$t_A = t_M + 0,6$$ $$\frac{x}{v_A} = \frac{x}{75} + 0,6 \quad (1)$$ Мотоциклист повернул обратно. Проехал половину пути из $C$ в $A$, то есть $\frac{x}{2}$ км. Время, которое мотоциклист потратил на этот обратный путь: $t_{M_{обр}} = \frac{x/2}{75} = \frac{x}{150}$. Общее время, которое прошло с момента выезда автомобиля до момента, когда мотоциклист проехал половину обратного пути, равно времени движения мотоциклиста туда и обратно: $$T_{общ} = t_M + t_{M_{обр}} = \frac{x}{75} + \frac{x}{150} = \frac{2x + x}{150} = \frac{3x}{150} = \frac{x}{50}$$ В этот момент автомобиль прибыл в $B$. Значит, автомобиль проехал 120 км за время $T_{общ} + 0,6$ (учитывая, что он выехал на 0,6 часа раньше). Значит, время автомобиля до $B$ равно $t_{AB} = \frac{120}{v_A}$. $$t_{AB} = T_{общ} + 0,6$$ $$\frac{120}{v_A} = \frac{x}{50} + 0,6 \quad (2)$$ Из уравнения (1) выразим $v_A$: $$\frac{1}{v_A} = \frac{1}{75} + \frac{0,6}{x} = \frac{x + 0,6 \cdot 75}{75x} = \frac{x + 45}{75x}$$ $$v_A = \frac{75x}{x + 45}$$ Подставим $v_A$ в уравнение (2): $$\frac{120}{\frac{75x}{x + 45}} = \frac{x}{50} + 0,6$$ $$\frac{120(x + 45)}{75x} = \frac{x}{50} + 0,6$$ $$\frac{4(x + 45)}{2,5x} = \frac{x}{50} + \frac{3}{5}$$ Умножим всё на $50x$ для избавления от знаменателей: $$4(x + 45) \cdot 20 = x^2 + 0,6 \cdot 50x$$ $$80(x + 45) = x^2 + 30x$$ $$80x + 3600 = x^2 + 30x$$ $$x^2 + 30x - 80x - 3600 = 0$$ $$x^2 - 50x - 3600 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3600)$$ $$D = 2500 + 14400$$ $$D = 16900$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130$$ Найдем корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{50 - 130}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$ $$x_2 = \frac{50 + 130}{2} = \frac{180}{2} = 90$$ Расстояние не может быть отрицательным, поэтому $x = 90$ км. **Ответ: 90**