Упростите выражение: $20a^3 \cdot (5a)^2$

1) а) Чтобы упростить это выражение, сначала возведём $(5a)^2$ в квадрат. Это будет $25a^2$. Затем умножим $20a^3$ на $25a^2$. Перемножим числа, $20 \cdot 25 = 500$, и степени $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$. $$20a^3 \cdot (5a)^2 = 20a^3 \cdot 25a^2 = 500a^5$$ **Ответ:** $500a^5$ б) Сначала возведём $(2x^3)^4$ в четвёртую степень. Это будет $2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{3 \cdot 4} = 16x^{12}$. Затем умножим $-0,4x^5$ на $16x^{12}$. Перемножим числа, $-0,4 \cdot 16 = -6,4$, и степени $x^5 \cdot x^{12} = x^{5+12} = x^{17}$. $$-0,4x^5 \cdot (2x^3)^4 = -0,4x^5 \cdot 16x^{12} = -6,4x^{17}$$ **Ответ:** $-6,4x^{17}$ в) Сначала возведём $(-c^3)^2$ в квадрат. Так как степень чётная, минус исчезнет, а степени перемножатся: $(c^3)^2 = c^{3 \cdot 2} = c^6$. Затем умножим $c^6$ на $12c^6$. Перемножим числа, $1 \cdot 12 = 12$, и степени $c^6 \cdot c^6 = c^{6+6} = c^{12}$. $$(-c^3)^2 \cdot 12c^6 = c^6 \cdot 12c^6 = 12c^{12}$$ **Ответ:** $12c^{12}$ 2) а) Сначала возведём $(3x^6y^7)^4$ в четвёртую степень. Это будет $3^4 \cdot (x^6)^4 \cdot (y^7)^4 = 81x^{24}y^{28}$. Затем умножим $81x^{24}y^{28}$ на $(-\frac{1}{81}xy^2)$. Перемножим числа, $81 \cdot (-\frac{1}{81}) = -1$. Перемножим степени $x$: $x^{24} \cdot x = x^{24+1} = x^{25}$. Перемножим степени $y$: $y^{28} \cdot y^2 = y^{28+2} = y^{30}$. $$(3x^6y^7)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = 81x^{24}y^{28} \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = -x^{25}y^{30}$$ **Ответ:** $-x^{25}y^{30}$ б) Сначала возведём $(-\frac{2}{3}ab^4)^2$ в квадрат. Так как степень чётная, минус исчезнет. Возведём каждую часть в квадрат: $(-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$, $a^2$, $(b^4)^2 = b^8$. Получим $\frac{4}{9}a^2b^8$. Затем умножим $\frac{4}{9}a^2b^8$ на $18a^5b$. Перемножим числа: $\frac{4}{9} \cdot 18 = 4 \cdot 2 = 8$. Перемножим степени $a$: $a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$. Перемножим степени $b$: $b^8 \cdot b = b^{8+1} = b^9$. $$\left(-\frac{2}{3}ab^4\right)^2 \cdot 18a^5b = \frac{4}{9}a^2b^8 \cdot 18a^5b = 8a^7b^9$$ **Ответ:** $8a^7b^9$