Решите систему неравенств e) \begin{cases} (x-2)^2 + \frac{3}{(x-2)^2} \ge 4 \\ (x-2)^4 - 5(x-2)^2 + 4 \le 0 \end{cases}

Нам нужно решить систему неравенств. Первое неравенство: $$(x-2)^2 + \frac{3}{(x-2)^2} \ge 4$$ Пусть $y = (x-2)^2$. Тогда $y > 0$. Неравенство примет вид: $$y + \frac{3}{y} \ge 4$$ Умножим обе части на $y$ (так как $y > 0$, знак неравенства не меняется): $$y^2 + 3 \ge 4y$$ $$y^2 - 4y + 3 \ge 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 4y + 3 = 0$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ Значит, неравенство $y^2 - 4y + 3 \ge 0$ выполняется при $y \le 1$ или $y \ge 3$. Учитывая, что $y > 0$, получаем $0 < y \le 1$ или $y \ge 3$. Возвращаемся к $x$: $y = (x-2)^2$. Случай 1: $0 < (x-2)^2 \le 1$ $$(x-2)^2 \le 1 \Rightarrow -1 \le x-2 \le 1$$ $$1 \le x \le 3$$ Также $(x-2)^2 > 0$, что означает $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$. Итак, для этого случая $x \in [1, 2) \cup (2, 3]$. Случай 2: $(x-2)^2 \ge 3$ $$|x-2| \ge \sqrt{3}$$ $$x-2 \le -\sqrt{3} \quad \text{или} \quad x-2 \ge \sqrt{3}$$ $$x \le 2 - \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x \ge 2 + \sqrt{3}$$ Итоговое решение для первого неравенства: $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}] \cup [1, 2) \cup (2, 3] \cup [2+\sqrt{3}, +\infty)$. Второе неравенство: $$(x-2)^4 - 5(x-2)^2 + 4 \le 0$$ Пусть $t = (x-2)^2$. Тогда $t \ge 0$. Неравенство примет вид: $$t^2 - 5t + 4 \le 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ Значит, неравенство $t^2 - 5t + 4 \le 0$ выполняется при $1 \le t \le 4$. Учитывая, что $t \ge 0$, получаем $1 \le t \le 4$. Возвращаемся к $x$: $t = (x-2)^2$. $$1 \le (x-2)^2 \le 4$$ Это означает, что: $(x-2)^2 \ge 1 \Rightarrow |x-2| \ge 1 \Rightarrow x-2 \le -1 \quad \text{или} \quad x-2 \ge 1$$ $$x \le 1 \quad \text{или} \quad x \ge 3$$ И $(x-2)^2 \le 4 \Rightarrow |x-2| \le 2 \Rightarrow -2 \le x-2 \le 2$$ $$0 \le x \le 4$$ Объединяем эти условия: $$(x \le 1 \text{ или } x \ge 3) \quad \text{и} \quad (0 \le x \le 4)$$ Решение второго неравенства: $x \in [0, 1] \cup [3, 4]$. Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: Решение 1: $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}] \cup [1, 2) \cup (2, 3] \cup [2+\sqrt{3}, +\infty)$ Приближенные значения: $2-\sqrt{3} \approx 2-1.732 = 0.268$, $2+\sqrt{3} \approx 2+1.732 = 3.732$. Итак, $x \in (-\infty, 0.268] \cup [1, 2) \cup (2, 3] \cup [3.732, +\infty)$ Решение 2: $x \in [0, 1] \cup [3, 4]$ Пересечение: Интервал $[0, 1]$ пересекается с $(-\infty, 2-\sqrt{3}]$ и $[1, 2)$. $[0, 1] \cap ( (-\infty, 2-\sqrt{3}] \cup [1, 2) ) = [0, 2-\sqrt{3}] \cup \{1\}$. Интервал $[3, 4]$ пересекается с $[2+\sqrt{3}, +\infty)$ и $(2, 3]$. $[3, 4] \cap ( (2, 3] \cup [2+\sqrt{3}, +\infty) ) = \{3\} \cup [2+\sqrt{3}, 4]$. Объединяем эти части: $[0, 2-\sqrt{3}] \cup \{1\} \cup \{3\} \cup [2+\sqrt{3}, 4]$. **Ответ:** $x \in [0, 2-\sqrt{3}] \cup \{1\} \cup \{3\} \cup [2+\sqrt{3}, 4]$