Выполните умножение: 1) а) 1,5x · 8x

1. Выполните умножение: 1) а) $1,5x \cdot 8x = (1,5 \cdot 8) \cdot (x \cdot x) = 12x^2$ б) $-a^2 \cdot 4a^3 = -4 \cdot (a^2 \cdot a^3) = -4a^{2+3} = -4a^5$ в) $6y \cdot \left(-\frac{1}{3}y^2\right) = \left(6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right) \cdot (y \cdot y^2) = -2y^{1+2} = -2y^3$ 2) а) $\frac{2}{3}a \cdot 12ab^2 = \left(\frac{2}{3} \cdot 12\right) \cdot (a \cdot a) \cdot b^2 = 8a^{1+1}b^2 = 8a^2b^2$ б) $0,5x^2y \cdot (-xy) = (0,5 \cdot (-1)) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -0,5x^{2+1}y^{1+1} = -0,5x^3y^2$ в) $-0,4x^4y^2 \cdot 2,5x^2y^4 = (-0,4 \cdot 2,5) \cdot (x^4 \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y^4) = -1x^{4+2}y^{2+4} = -x^6y^6$ 2. Перемножьте одночлены: 1) $10a^4, -0,1a^5$ и $-0,5a^2x^8$ $10a^4 \cdot (-0,1a^5) \cdot (-0,5a^2x^8) = (10 \cdot (-0,1) \cdot (-0,5)) \cdot (a^4 \cdot a^5 \cdot a^2) \cdot x^8 = ((-1) \cdot (-0,5)) \cdot a^{4+5+2}x^8 = 0,5a^{11}x^8$ 2) $-\frac{1}{3}a^2bc, -15ab^2c$ и $0,2abc^2$ $-\frac{1}{3}a^2bc \cdot (-15ab^2c) \cdot 0,2abc^2 = \left(-\frac{1}{3} \cdot (-15) \cdot 0,2\right) \cdot (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b) \cdot (c \cdot c \cdot c^2) = (5 \cdot 0,2) \cdot a^{2+1+1}b^{1+2+1}c^{1+1+2} = 1a^4b^4c^4 = a^4b^4c^4$ 3. Замените значок $*$ одночленом стандартного вида так, чтобы получившееся равенство было тождеством: 1) $6a^2 \cdot * = 24a^3b$ Чтобы найти $*$, нужно $24a^3b$ разделить на $6a^2$. $* = \frac{24a^3b}{6a^2} = \frac{24}{6} \cdot \frac{a^3}{a^2} \cdot b = 4a^{3-2}b = 4ab$ 2) $* \cdot 5x^2y^3 = -30x^3y^5$ Чтобы найти $*$, нужно $-30x^3y^5$ разделить на $5x^2y^3$. $* = \frac{-30x^3y^5}{5x^2y^3} = \frac{-30}{5} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^5}{y^3} = -6x^{3-2}y^{5-3} = -6xy^2$ 4. Выполните возведение одночлена в степень: 1) а) $(8x)^2 = 8^2x^2 = 64x^2$ б) $\left(\frac{1}{3}a^2\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3(a^2)^3 = \frac{1}{27}a^{2 \cdot 3} = \frac{1}{27}a^6$ в) $(0,2y^3)^4 = (0,2)^4(y^3)^4 = 0,0016y^{3 \cdot 4} = 0,0016y^{12}$ 2) а) $(4xy)^3 = 4^3x^3y^3 = 64x^3y^3$ б) $(8a^2b)^2 = 8^2(a^2)^2b^2 = 64a^{2 \cdot 2}b^2 = 64a^4b^2$ в) $(2a^2c^3)^3 = 2^3(a^2)^3(c^3)^3 = 8a^{2 \cdot 3}c^{3 \cdot 3} = 8a^6c^9$ 3) а) $\left(-\frac{1}{2}ab\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3a^3b^3 = -\frac{1}{8}a^3b^3$ б) $(-10a^3b^2)^4 = (-10)^4(a^3)^4(b^2)^4 = 10000a^{3 \cdot 4}b^{2 \cdot 4} = 10000a^{12}b^8$ в) $(-xy^2z^3)^5 = (-1)^5x^5(y^2)^5(z^3)^5 = -x^5y^{2 \cdot 5}z^{3 \cdot 5} = -x^5y^{10}z^{15}$ 4) а) $-(2ax^2)^2 = -(2^2a^2(x^2)^2) = -(4a^2x^4) = -4a^2x^4$ б) $-(-4x^3c)^3 = -((-4)^3(x^3)^3c^3) = -(-64x^{3 \cdot 3}c^3) = -(-64x^9c^3) = 64x^9c^3$ в) $-(-a^2b^3c^4)^4 = -((-1)^4(a^2)^4(b^3)^4(c^4)^4) = -(1a^{2 \cdot 4}b^{3 \cdot 4}c^{4 \cdot 4}) = -a^8b^{12}c^{16}$ 5. Представьте в виде: 1) квадрата одночлена выражение $\frac{1}{4}x^4$ $\frac{1}{4}x^4 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2$ 0,36a^6b^8 $0,36a^6b^8 = (0,6a^3b^4)^2$ 2) куба одночлена выражение $0,001x^6$ $0,001x^6 = (0,1x^2)^3$ $-125a^3c^9$ $-125a^3c^9 = (-5ac^3)^3$ 6. Упростите выражение: 1) а) $20a^3 \cdot (5a)^2 = 20a^3 \cdot 5^2a^2 = 20a^3 \cdot 25a^2 = (20 \cdot 25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 500a^{3+2} = 500a^5$ б) $-0,4x^5 \cdot (2x^3)^4 = -0,4x^5 \cdot 2^4(x^3)^4 = -0,4x^5 \cdot 16x^{3 \cdot 4} = -0,4x^5 \cdot 16x^{12} = (-0,4 \cdot 16) \cdot (x^5 \cdot x^{12}) = -6,4x^{5+12} = -6,4x^{17}$ в) $(-c^3)^2 \cdot 12c^6 = ((-1)^2(c^3)^2) \cdot 12c^6 = (1c^{3 \cdot 2}) \cdot 12c^6 = c^6 \cdot 12c^6 = 12 \cdot (c^6 \cdot c^6) = 12c^{6+6} = 12c^{12}$ 2) а) $(3x^6y^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = (3^4(x^6)^4(y^3)^4) \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = (81x^{6 \cdot 4}y^{3 \cdot 4}) \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = (81x^{24}y^{12}) \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right) = \left(81 \cdot \left(-\frac{1}{81}\right)\right) \cdot (x^{24} \cdot x) \cdot (y^{12} \cdot y^2) = -1x^{24+1}y^{12+2} = -x^{25}y^{14}$ б) $\left(-\frac{2}{3}ab^5\right) \cdot 18a^5b = \left(-\frac{2}{3} \cdot 18\right) \cdot (a \cdot a^5) \cdot (b^5 \cdot b) = (-12) \cdot a^{1+5} \cdot b^{5+1} = -12a^6b^6$ 7. Представьте в виде одночлена стандартного вида: 1) а) $(4ac^2)^3 \cdot (0,5a^3c)^2 = (4^3a^3(c^2)^3) \cdot ((0,5)^2(a^3)^2c^2) = (64a^3c^6) \cdot (0,25a^6c^2) = (64 \cdot 0,25) \cdot (a^3 \cdot a^6) \cdot (c^6 \cdot c^2) = 16a^{3+6}c^{6+2} = 16a^9c^8$ б) $\left(\frac{2}{3}x^2y^3\right)^3 \cdot (-9x^4)^2 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3(x^2)^3(y^3)^3\right) \cdot ((-9)^2(x^4)^2) = \left(\frac{8}{27}x^6y^9\right) \cdot (81x^8) = \left(\frac{8}{27} \cdot 81\right) \cdot (x^6 \cdot x^8) \cdot y^9 = (8 \cdot 3) \cdot x^{6+8}y^9 = 24x^{14}y^9$ 2) а) $-(-x^2y^4)^4 \cdot (6x^4y)^2 = -((-1)^4(x^2)^4(y^4)^4) \cdot (6^2(x^4)^2y^2) = -(1x^8y^{16}) \cdot (36x^8y^2) = -x^8y^{16} \cdot 36x^8y^2 = -36 \cdot (x^8 \cdot x^8) \cdot (y^{16} \cdot y^2) = -36x^{8+8}y^{16+2} = -36x^{16}y^{18}$ б) $(-10a^3b^2)^5 \cdot (-0,2ab^2)^5 = ((-10)^5(a^3)^5(b^2)^5) \cdot ((-0,2)^5a^5(b^2)^5) = (-100000a^{15}b^{10}) \cdot (-0,00032a^5b^{10}) = (-100000 \cdot (-0,00032)) \cdot (a^{15} \cdot a^5) \cdot (b^{10} \cdot b^{10}) = 32a^{15+5}b^{10+10} = 32a^{20}b^{20}$ 8. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выражения: 1) а) $81x^2y^4$ $81x^2y^4 = (9xy^2)^2$. **Да, можно.** б) $-100x^4y^8$ Отрицательное число не может быть квадратом одночлена. **Нет, нельзя.** 2) а) $-5x^3y^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}x^5y^3\right)$ $-5x^3y^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}x^5y^3\right) = \left(-5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)\right) \cdot (x^3 \cdot x^5) \cdot (y^5 \cdot y^3) = 1 \cdot x^{3+5}y^{5+3} = x^8y^8 = (x^4y^4)^2$. **Да, можно.** б) $-(-3xy^3)^3 \cdot 27y^6$ $-(-3xy^3)^3 \cdot 27y^6 = -((-3)^3x^3(y^3)^3) \cdot 27y^6 = -(-27x^3y^9) \cdot 27y^6 = (27x^3y^9) \cdot 27y^6 = (27 \cdot 27) \cdot x^3 \cdot (y^9 \cdot y^6) = 729x^3y^{15}$ Здесь степень $x$ нечетная ($x^3$), поэтому нельзя представить в виде квадрата одночлена. **Нет, нельзя.**