1. Дан прямоугольный параллелепипед. Его ширина равна 9 см, длина в 2 раза больше ширины, а высота на 8 см меньше длины. Найдите: а) площадь поверхности параллелепипеда;

1. Дан прямоугольный параллелепипед. Его ширина равна 9 см, длина в 2 раза больше ширины, а высота на 8 см меньше длины. Сначала найдём длину и высоту: Длина: $9 \text{ см} \cdot 2 = 18 \text{ см}$ Высота: $18 \text{ см} - 8 \text{ см} = 10 \text{ см}$ а) Площадь поверхности параллелепипеда (S) вычисляется по формуле: $$S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$$ где $a$ — длина, $b$ — ширина, $c$ — высота. $S = 2 \cdot (18 \cdot 9 + 9 \cdot 10 + 18 \cdot 10) = 2 \cdot (162 + 90 + 180) = 2 \cdot 432 = 864 \text{ см}^2$ **Ответ: 864 см$^2$** б) Сумма длин всех рёбер параллелепипеда (L) вычисляется по формуле: $$L = 4 \cdot (a + b + c)$$ $L = 4 \cdot (18 + 9 + 10) = 4 \cdot 37 = 148 \text{ см}$ **Ответ: 148 см** в) Объём параллелепипеда (V) вычисляется по формуле: $$V = a \cdot b \cdot c$$ $V = 18 \cdot 9 \cdot 10 = 1620 \text{ см}^3$ **Ответ: 1620 см$^3$** 2. Сумма длин всех рёбер куба равна 48 см. У куба 12 одинаковых рёбер. Длина одного ребра куба (a): $48 \text{ см} \div 12 = 4 \text{ см}$ а) Объём куба (V) вычисляется по формуле: $$V = a^3$$ $V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \text{ см}^3$ **Ответ: 64 см$^3$** б) Площадь поверхности куба (S) вычисляется по формуле: $$S = 6 \cdot a^2$$ $S = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$ **Ответ: 96 см$^2$** 3. Ширина кабинета 3 м. Длина: $3 \text{ м} + 1 \text{ м } 70 \text{ см} = 3 \text{ м} + 1.7 \text{ м} = 4.7 \text{ м}$ Высота: $4.7 \text{ м} - 2 \text{ м } 70 \text{ см} = 4.7 \text{ м} - 2.7 \text{ м} = 2 \text{ м}$ Площадь стен (две стены длиной и две стены шириной): $S_{\text{стен}} = 2 \cdot (\text{длина} \cdot \text{высота}) + 2 \cdot (\text{ширина} \cdot \text{высота})$ $S_{\text{стен}} = 2 \cdot (4.7 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot 2) = 2 \cdot 9.4 + 2 \cdot 6 = 18.8 + 12 = 30.8 \text{ м}^2$ Площадь потолка: $S_{\text{потолка}} = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 4.7 \cdot 3 = 14.1 \text{ м}^2$ Общая площадь для оклеивания: $S_{\text{общая}} = S_{\text{стен}} + S_{\text{потолка}} = 30.8 + 14.1 = 44.9 \text{ м}^2$ Количество рулонов обоев: $44.9 \text{ м}^2 \div 10 \text{ м}^2/\text{рулон} = 4.49$ рулона. Поскольку нельзя купить часть рулона, нужно округлить в большую сторону. **Ответ: 5 рулонов** 4. Размеры посылочного ящика: длина = 60 см, ширина = 30 см, высота = 20 см. Шпагат обхватывает ящик по длине и высоте дважды, и по ширине и высоте тоже дважды (как показано на рисунке, где ящик перевязан крест-на-крест по двум парам сторон). Две длины: $2 \cdot 60 \text{ см} = 120 \text{ см}$ Две высоты: $2 \cdot 20 \text{ см} = 40 \text{ см}$ Две ширины: $2 \cdot 30 \text{ см} = 60 \text{ см}$ Длина шпагата для обвязки: $120 + 40 + 60 + 40 = 260 \text{ см}$. Также нужно учесть, что на рисунке видно, что шпагат идет по высоте 2 раза (для обхвата по ширине) и 2 раза (для обхвата по длине), то есть всего 4 раза по высоте, 2 раза по длине и 2 раза по ширине. Пусть $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота. Длина шпагата $= 2l + 2w + 4h$ (дважды по длине, дважды по ширине, и четырежды по высоте, т.к. обхват идет с двух сторон) Но на рисунке шпагат обхватывает одну сторону по длине и высоте, и вторую сторону по ширине и высоте. Длина шпагата: $2 \cdot (60 \text{ см} + 20 \text{ см}) + 2 \cdot (30 \text{ см} + 20 \text{ см})$ Длина шпагата: $2 \cdot 80 \text{ см} + 2 \cdot 50 \text{ см} = 160 \text{ см} + 100 \text{ см} = 260 \text{ см}$ Теперь к этой длине нужно добавить 10 см на узлы и бантик. Общая длина шпагата: $260 \text{ см} + 10 \text{ см} = 270 \text{ см}$ **Ответ: 270 см**