Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Пусть $v_a$ — скорость автомобиля, $t_a$ — время, которое ехал автомобиль до города C. Мотоциклист выехал на 1 час позже и догнал автомобиль в городе C. Время в пути мотоциклиста до города C: $t_a - 1$ ч. Расстояние от A до C, которое проехал автомобиль: $S_{AC} = v_a \cdot t_a$. Расстояние от A до C, которое проехал мотоциклист: $S_{AC} = 80 \cdot (t_a - 1)$. Приравниваем эти расстояния: $$v_a \cdot t_a = 80 \cdot (t_a - 1) \quad (1)$$ Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Время движения мотоциклиста от A до C и обратно до A: $2 \cdot (t_a - 1)$. За это время автомобиль проехал от A до B, то есть $420$ км. Значит, общее время в пути автомобиля: $t_{общ} = t_a + 2 \cdot (t_a - 1)$. Следовательно, можем записать: $$v_a \cdot (t_a + 2 \cdot (t_a - 1)) = 420 \quad (2)$$ Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($v_a$ и $t_a$): $$\begin{cases} v_a \cdot t_a = 80 \cdot (t_a - 1) \\ v_a \cdot (t_a + 2 \cdot (t_a - 1)) = 420 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $v_a$: $$v_a = \frac{80(t_a - 1)}{t_a}$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$\frac{80(t_a - 1)}{t_a} \cdot (t_a + 2t_a - 2) = 420$$ $$\frac{80(t_a - 1)}{t_a} \cdot (3t_a - 2) = 420$$ Разделим обе части на 20: $$\frac{4(t_a - 1)}{t_a} \cdot (3t_a - 2) = 21$$ $$4(t_a - 1)(3t_a - 2) = 21t_a$$ $$4(3t_a^2 - 2t_a - 3t_a + 2) = 21t_a$$ $$4(3t_a^2 - 5t_a + 2) = 21t_a$$ $$12t_a^2 - 20t_a + 8 = 21t_a$$ $$12t_a^2 - 41t_a + 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-41)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 8 = 1681 - 384 = 1297$$ Ой, получилось не очень красивое число. Давай перепроверим логику. Представим, что мотоциклист и автомобиль едут в одну сторону. Пусть $S_{AC}$ - расстояние от города А до города С. Скорость автомобиля - $v_a$, скорость мотоциклиста - $v_m = 80$ км/ч. Время, за которое автомобиль доехал до C: $t_a = \frac{S_{AC}}{v_a}$. Время, за которое мотоциклист доехал до C: $t_m = \frac{S_{AC}}{v_m} = \frac{S_{AC}}{80}$. Мы знаем, что мотоциклист выехал на 1 час позже, то есть: $$t_a - t_m = 1$$ $$\frac{S_{AC}}{v_a} - \frac{S_{AC}}{80} = 1 \quad (1)$$ Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Время, за которое мотоциклист доехал до C и обратно до A: $2 \cdot t_m = 2 \cdot \frac{S_{AC}}{80} = \frac{S_{AC}}{40}$. За это время автомобиль проехал от A до B, то есть $420$ км. Полное время движения автомобиля: $t_{автомобиля\_общее} = \frac{420}{v_a}$. Это время равно сумме времени, за которое автомобиль доехал до C ($t_a$), и времени, за которое мотоциклист вернулся из C в A ($2t_m$). $$t_{автомобиля\_общее} = t_a + 2t_m = \frac{S_{AC}}{v_a} + \frac{S_{AC}}{40}$$ $$\frac{420}{v_a} = \frac{S_{AC}}{v_a} + \frac{S_{AC}}{40} \quad (2)$$ Из уравнения (1) выразим $v_a$: $$\frac{S_{AC}}{v_a} = 1 + \frac{S_{AC}}{80}$$ $$v_a = \frac{S_{AC}}{1 + \frac{S_{AC}}{80}} = \frac{S_{AC}}{\frac{80 + S_{AC}}{80}} = \frac{80 S_{AC}}{80 + S_{AC}}$$ Теперь подставим это выражение для $v_a$ в уравнение (2): $$\frac{420}{\frac{80 S_{AC}}{80 + S_{AC}}} = \frac{S_{AC}}{\frac{80 S_{AC}}{80 + S_{AC}}} + \frac{S_{AC}}{40}$$ $$\frac{420(80 + S_{AC})}{80 S_{AC}} = \frac{S_{AC}(80 + S_{AC})}{80 S_{AC}} + \frac{S_{AC}}{40}$$ Умножим все на $80 S_{AC}$ (при условии $S_{AC} \neq 0$): $$420(80 + S_{AC}) = S_{AC}(80 + S_{AC}) + 2S_{AC}^2$$ $$33600 + 420 S_{AC} = 80 S_{AC} + S_{AC}^2 + 2S_{AC}^2$$ $$33600 + 420 S_{AC} = 3S_{AC}^2 + 80 S_{AC}$$ $$3S_{AC}^2 + 80 S_{AC} - 420 S_{AC} - 33600 = 0$$ $$3S_{AC}^2 - 340 S_{AC} - 33600 = 0$$ Решим квадратное уравнение для $S_{AC}$ с помощью формулы корней: $$S_{AC} = \frac{-(-340) \pm \sqrt{(-340)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33600)}}{2 \cdot 3}$$ $$S_{AC} = \frac{340 \pm \sqrt{115600 + 403200}}{6}$$ $$S_{AC} = \frac{340 \pm \sqrt{518800}}{6}$$ $$S_{AC} = \frac{340 \pm \sqrt{400 \cdot 1297}}{6}$$ $$S_{AC} = \frac{340 \pm 20\sqrt{1297}}{6}$$ Это нецелое число. Скорее всего, где-то ошибка в рассуждениях или вычислениях, или же в изначальных условиях задачи. Перепроверим постановку задачи. Пусть $S$ – расстояние от A до С. Скорость мотоциклиста $v_м = 80$ км/ч. Пусть скорость автомобиля $v_а$. Мотоциклист выехал через 1 час после автомобиля. Время движения мотоциклиста до встречи в С: $t_м = \frac{S}{80}$. Время движения автомобиля до встречи в С: $t_а = \frac{S}{v_а}$. По условию $t_а = t_м + 1$. $$\frac{S}{v_а} = \frac{S}{80} + 1 \quad (1)$$ Мотоциклист вернулся в А, когда автомобиль прибыл в В. Время, которое мотоциклист затратил на путь туда и обратно (А-С-А): $2t_м = 2 \cdot \frac{S}{80} = \frac{S}{40}$. За это же время автомобиль проехал весь путь от А до В, который равен $420$ км. То есть, автомобиль ехал $t_а$ часов до точки C, а потом еще $2t_м$ часов до точки B. Таким образом, общее время движения автомобиля от А до В равно $t_а + 2t_м$. Это же время можно выразить как $\frac{420}{v_а}$. Тогда: $$\frac{420}{v_а} = \frac{S}{v_а} + \frac{S}{40} \quad (2)$$ Из (1) выразим $v_а$: $$\frac{1}{v_а} = \frac{1}{80} + \frac{1}{S}$$ $$v_а = \frac{1}{\frac{1}{80} + \frac{1}{S}} = \frac{80S}{S + 80}$$ Подставим это в (2): $$\frac{420}{\frac{80S}{S + 80}} = \frac{S}{\frac{80S}{S + 80}} + \frac{S}{40}$$ $$\frac{420(S + 80)}{80S} = \frac{S(S + 80)}{80S} + \frac{S}{40}$$ Умножим все на $80S$: $$420(S + 80) = S(S + 80) + 2S^2$$ $$420S + 420 \cdot 80 = S^2 + 80S + 2S^2$$ $$420S + 33600 = 3S^2 + 80S$$ $$3S^2 + 80S - 420S - 33600 = 0$$ $$3S^2 - 340S - 33600 = 0$$ Это то же самое уравнение, что и в первый раз. Похоже, проблема не в вычислениях, а в предположении, что $v_a$ является рациональной. Возможно, задача имеет ответ, который не является целым числом. Давай попробуем решить другим способом, чтобы проверить. Пусть $t_M$ - время в пути мотоциклиста до города C. Расстояние AC = $80t_M$. Автомобиль ехал до города C время $t_A = t_M + 1$. Скорость автомобиля $v_A = \frac{80t_M}{t_M + 1}$. Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Мотоциклист потратил на путь туда и обратно $2t_M$ часов. За это время автомобиль проехал оставшуюся часть пути до B. Общее время автомобиля до B: $T_A = t_A + 2t_M = t_M + 1 + 2t_M = 3t_M + 1$. За это время автомобиль проехал 420 км. Значит, $v_A \cdot (3t_M + 1) = 420$. Подставим выражение для $v_A$: $$\frac{80t_M}{t_M + 1} \cdot (3t_M + 1) = 420$$ $$80t_M(3t_M + 1) = 420(t_M + 1)$$ Разделим обе части на 20: $$4t_M(3t_M + 1) = 21(t_M + 1)$$ $$12t_M^2 + 4t_M = 21t_M + 21$$ $$12t_M^2 - 17t_M - 21 = 0$$ Найдем $t_M$ с помощью дискриминанта: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-21) = 289 + 1008 = 1297$$ Вот это да, опять $1297$ под корнем. $t_M = \frac{17 \pm \sqrt{1297}}{2 \cdot 12} = \frac{17 \pm \sqrt{1297}}{24}$. Поскольку время не может быть отрицательным, берем положительный корень: $$t_M = \frac{17 + \sqrt{1297}}{24}$$ Расстояние от A до C: $S_{AC} = 80t_M = 80 \cdot \frac{17 + \sqrt{1297}}{24} = \frac{10}{3}(17 + \sqrt{1297})$. $1297$ - это простое число, так что корень не упрощается. Возможно, в условии задачи скрыт какой-то подвох или более простое решение. Подумаем над соотношением времен и скоростей. Пусть $t_{AC}$ - время движения автомобиля от А до С. Пусть $t_{MC}$ - время движения мотоциклиста от А до С. $t_{AC} = t_{MC} + 1$. Пусть $v_A$ - скорость автомобиля. Расстояние AC = $v_A \cdot t_{AC}$. Расстояние AC = $80 \cdot t_{MC}$. Когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Время, которое мотоциклист потратил на путь туда и обратно: $2t_{MC}$. Общее время, которое автомобиль находился в пути до города В: $t_{total\_A} = t_{AC} + 2t_{MC}$. За это время автомобиль проехал 420 км. Значит $v_A \cdot (t_{AC} + 2t_{MC}) = 420$. Подставим $t_{AC} = t_{MC} + 1$: $v_A \cdot (t_{MC} + 1 + 2t_{MC}) = 420$ $v_A \cdot (3t_{MC} + 1) = 420$. Из второго равенства для AC: $v_A = \frac{80 t_{MC}}{t_{AC}} = \frac{80 t_{MC}}{t_{MC} + 1}$. Подставим $v_A$: $$\frac{80 t_{MC}}{t_{MC} + 1} \cdot (3t_{MC} + 1) = 420$$ $$80 t_{MC} (3t_{MC} + 1) = 420 (t_{MC} + 1)$$ Разделим на 20: $$4 t_{MC} (3t_{MC} + 1) = 21 (t_{MC} + 1)$$ $$12 t_{MC}^2 + 4 t_{MC} = 21 t_{MC} + 21$$ $$12 t_{MC}^2 - 17 t_{MC} - 21 = 0$$ Это квадратное уравнение, его корни: $$t_{MC} = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-21)}}{2 \cdot 12}$$ $$t_{MC} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 1008}}{24}$$ $$t_{MC} = \frac{17 \pm \sqrt{1297}}{24}$$ Поскольку время $t_{MC}$ должно быть положительным, берем $t_{MC} = \frac{17 + \sqrt{1297}}{24}$ ч. Расстояние от A до C: $S_{AC} = 80 \cdot t_{MC} = 80 \cdot \frac{17 + \sqrt{1297}}{24} = \frac{10}{3} (17 + \sqrt{1297})$. Такой ответ с корнем. Может, я пропустил какое-то специальное условие или есть способ избежать такого корня. Давай ещё раз внимательно прочитаем задачу. Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города А в город В выехал автомобиль. Через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист. Догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Пусть $S_{AC}$ - расстояние от А до С. Пусть $v_A$ - скорость автомобиля. Пусть $t_{AB}$ - общее время движения автомобиля от А до В. Время, за которое мотоциклист доехал до C: $t_M = S_{AC}/80$. Время, за которое автомобиль доехал до C: $t_{AC} = S_{AC}/v_A$. Из условия: $t_{AC} = t_M + 1$. Время, за которое мотоциклист проехал от А до С и обратно до А: $2t_M = 2S_{AC}/80 = S_{AC}/40$. За это же время, пока мотоциклист возвращался в А, автомобиль проехал оставшуюся часть пути от С до В. То есть, автомобиль ехал $t_{AC}$ часов до С, а потом еще $S_{AC}/40$ часов от С до В. Общее время движения автомобиля до В: $t_{AB} = t_{AC} + S_{AC}/40$. Мы также знаем, что $t_{AB} = 420/v_A$. Подставим $t_{AC} = t_M + 1 = S_{AC}/80 + 1$ в выражение для $t_{AB}$: $$t_{AB} = (S_{AC}/80 + 1) + S_{AC}/40 = S_{AC}/80 + 1 + 2S_{AC}/80 = 3S_{AC}/80 + 1$$ Теперь у нас есть два выражения для $t_{AB}$: $$\frac{420}{v_A} = \frac{3S_{AC}}{80} + 1$$ И у нас есть $v_A = S_{AC} / t_{AC} = S_{AC} / (S_{AC}/80 + 1) = \frac{S_{AC} \cdot 80}{S_{AC} + 80}$. Подставим $v_A$: $$\frac{420}{\frac{80 S_{AC}}{S_{AC} + 80}} = \frac{3S_{AC}}{80} + 1$$ $$\frac{420(S_{AC} + 80)}{80S_{AC}} = \frac{3S_{AC} + 80}{80}$$ Умножим обе части на $80$: $$\frac{420(S_{AC} + 80)}{S_{AC}} = 3S_{AC} + 80$$ $$420(S_{AC} + 80) = S_{AC}(3S_{AC} + 80)$$ $$420S_{AC} + 33600 = 3S_{AC}^2 + 80S_{AC}$$ $$3S_{AC}^2 + 80S_{AC} - 420S_{AC} - 33600 = 0$$ $$3S_{AC}^2 - 340S_{AC} - 33600 = 0$$ Это опять то же самое уравнение. Значит, решение действительно через дискриминант с корнем. Возможно, в подобных задачах иногда используются приближенные значения, или же ожидается, что будет ошибка в условии. Но раз просят найти расстояние, то должен быть точный ответ. Давайте проверим условие