Докажите, что $AB \cdot BN = CB \cdot BM$ и найдите $MN$, если $AM = 6$ см, $BM = 8$ см, $AC = 21$ см.

1. Чтобы доказать, что $AB \cdot BN = CB \cdot BM$, нам нужно рассмотреть треугольники $\triangle BMN$ и $\triangle BCA$. Если $MN \parallel AC$, то по свойству подобных треугольников $\triangle BMN \sim \triangle BCA$. Из подобия следует: $$\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}$$ Перемножим крест-накрест: $$BM \cdot BC = BN \cdot BA$$ Что и требовалось доказать. 2. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle BMN \sim \triangle BCA$. Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{BA}$. Нам дано $AM = 6$ см и $BM = 8$ см. Тогда $BA = AM + BM = 6 + 8 = 14$ см. Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{BA} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. Из подобия треугольников следует: $$\frac{MN}{AC} = k$$ $$\frac{MN}{AC} = \frac{4}{7}$$ Из условия $AC = 21$ см, тогда: $$MN = \frac{4}{7} \cdot AC = \frac{4}{7} \cdot 21 = 4 \cdot 3 = 12$$ **Ответ: $MN = 12$ см** ### Задача А2 Даны стороны треугольников $РКМ$ и $АВС$: $РК = 16$ см, $КМ = 20$ см, $РМ = 28$ см и $АВ = 12$ см, $ВС = 15$ см, $АС = 21$ см. Нужно найти отношение площадей этих треугольников. Чтобы найти отношение площадей, сначала нужно проверить, подобны ли эти треугольники. Для этого сравним отношения соответствующих сторон: 1. Сравним $PK$ и $AB$: $$\frac{PK}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$$ 2. Сравним $KM$ и $BC$: $$\frac{KM}{BC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$$ 3. Сравним $PM$ и $AC$: $$\frac{PM}{AC} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}$$ Так как отношения всех сторон равны ($k = \frac{4}{3}$), то треугольники $РКМ$ и $АВС$ подобны ($\triangle PKM \sim \triangle ABC$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{\triangle PKM}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$ **Ответ: $\frac{16}{9}$** ### Задача В1 Столб высотой $9$ м отбрасывает тень длиной $2$ м. Нужно найти длину тени человека ростом $1,8$ м, стоящего около этого столба. Представим столб и человека как вертикальные отрезки, а их тени как горизонтальные отрезки. Лучи солнца падают под одним углом, образуя два подобных прямоугольных треугольника (один для столба, другой для человека). Пусть $H_{столба}$ — высота столба, $L_{тени\ столба}$ — длина тени столба. Пусть $H_{человека}$ — рост человека, $L_{тени\ человека}$ — длина тени человека. Подобие треугольников дает отношение: $$\frac{H_{столба}}{L_{тени\ столба}} = \frac{H_{человека}}{L_{тени\ человека}}$$ Подставим известные значения: $H_{столба} = 9$ м $L_{тени\ столба} = 2$ м $H_{человека} = 1,8$ м $$\frac{9}{2} = \frac{1,8}{L_{тени\ человека}}$$ Чтобы найти $L_{тени\ человека}$, выразим ее из уравнения: $$L_{тени\ человека} = \frac{1,8 \cdot 2}{9}$$ $$L_{тени\ человека} = \frac{3,6}{9}$$ $$L_{тени\ человека} = 0,4$$ **Ответ: $0,4$ м**