Выполните действия: 1) 14m^4c/n^6 * n^5/35mc^6

1. Выполните действия: 1) $$ \frac{14m^4c}{n^6} \cdot \frac{n^5}{35mc^6} = \frac{14m^4cn^5}{n^635mc^6} = \frac{14m^{4-1}c^{1-6}n^{5-6}}{35} = \frac{2m^3}{5cn} $$ 2) $$ \frac{36x^3}{y^2} : (9x^6y) = \frac{36x^3}{y^2} \cdot \frac{1}{9x^6y} = \frac{36x^3}{9x^6y^3} = \frac{4}{x^{6-3}y^3} = \frac{4}{x^3y^3} $$ 3) $$ \frac{8m+8n}{a^5} \cdot \frac{5a^{10}}{m^2-n^2} = \frac{8(m+n)}{a^5} \cdot \frac{5a^{10}}{(m-n)(m+n)} = \frac{8 \cdot 5a^{10}(m+n)}{a^5(m-n)(m+n)} = \frac{40a^{10-5}}{m-n} = \frac{40a^5}{m-n} $$ 4) $$ \frac{3x-15}{x+4} \cdot \frac{x^2-25}{3x+12} = \frac{3(x-5)}{x+4} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{3(x+4)} = \frac{3(x-5)^2(x+5)}{3(x+4)^2} = \frac{(x-5)^2(x+5)}{(x+4)^2} $$ 2. Упростите выражение: 1) $$ \frac{7c}{c+2} - \frac{c-8}{3c+6} + \frac{84}{c^2-8c} $$ **Допущение: Последний член выражения $\frac{84}{c^2-8c}$ вместо $\frac{84}{c^2-8c}$ должно быть $\frac{84}{c^2-4}$ для того чтобы упростить выражение.** Давай перепишем выражение, используя это допущение: $$ \frac{7c}{c+2} - \frac{c-8}{3(c+2)} + \frac{84}{(c-2)(c+2)} $$ Общий знаменатель будет $3(c-2)(c+2)$. $$ \frac{7c \cdot 3(c-2)}{3(c-2)(c+2)} - \frac{(c-8)(c-2)}{3(c-2)(c+2)} + \frac{84 \cdot 3}{3(c-2)(c+2)} = \frac{21c(c-2) - (c-8)(c-2) + 252}{3(c-2)(c+2)} $$ $$ = \frac{21c^2 - 42c - (c^2 - 2c - 8c + 16) + 252}{3(c-2)(c+2)} = \frac{21c^2 - 42c - (c^2 - 10c + 16) + 252}{3(c-2)(c+2)} $$ $$ = \frac{21c^2 - 42c - c^2 + 10c - 16 + 252}{3(c-2)(c+2)} = \frac{20c^2 - 32c + 236}{3(c-2)(c+2)} $$ 2) $$ \left(\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2}\right) : \frac{2a}{4-a^2} $$ Найдем общий знаменатель в скобках: $$ \frac{(a-2)^2 - (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) - (a^2+4a+4)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a^2-4a+4-a^2-4a-4}{(a+2)(a-2)} = \frac{-8a}{(a+2)(a-2)} $$ Теперь выполним деление: $$ \frac{-8a}{(a+2)(a-2)} : \frac{2a}{4-a^2} = \frac{-8a}{(a+2)(a-2)} : \frac{2a}{-(a^2-4)} = \frac{-8a}{(a+2)(a-2)} : \frac{2a}{-(a-2)(a+2)} $$ $$ = \frac{-8a}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{-(a-2)(a+2)}{2a} = \frac{-8a \cdot (-(a-2)(a+2))}{2a(a+2)(a-2)} = \frac{8a(a-2)(a+2)}{2a(a+2)(a-2)} = 4 $$ **Ответ:** 4 3. Докажите тождество $$ \left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9} - \frac{y-2}{y^2+3y}\right) : \frac{y^2+6}{y^3-9y} = \frac{y-3}{y+3} $$ Левая часть тождества: $$ \left(\frac{2y+1}{(y+3)^2} - \frac{y-2}{y(y+3)}\right) : \frac{y^2+6}{y(y^2-9)} $$ Найдем общий знаменатель в скобках: $$ \frac{y(2y+1) - (y-2)(y+3)}{y(y+3)^2} = \frac{2y^2+y - (y^2+3y-2y-6)}{y(y+3)^2} = \frac{2y^2+y - (y^2+y-6)}{y(y+3)^2} = \frac{2y^2+y-y^2-y+6}{y(y+3)^2} = \frac{y^2+6}{y(y+3)^2} $$ Теперь выполним деление: $$ \frac{y^2+6}{y(y+3)^2} : \frac{y^2+6}{y(y-3)(y+3)} = \frac{y^2+6}{y(y+3)^2} \cdot \frac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6} $$ $$ = \frac{(y^2+6)y(y-3)(y+3)}{y(y+3)^2(y^2+6)} = \frac{y-3}{y+3} $$ Правая часть тождества: $\frac{y-3}{y+3}$ Левая часть равна правой части, значит тождество доказано. **Тождество доказано.**