Используя рисунок, найдите численное значение k.

На рисунке у нас есть треугольник $TSK$. Отрезок $TR$ является высотой, опущенной из вершины $T$ на сторону $SK$. Значит, треугольники $TSR$ и $TRK$ — прямоугольные. По условию, углы $\angle S$ и $\angle KTR$ обозначены одной дугой, это означает, что они равны. Углы $\angle ST R$ и $\angle K$ обозначены двумя дугами, значит, они тоже равны. Также у нас есть: $SR = 3$ и $RK = 23,52$. Длина отрезка $TR$ обозначена как $k$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $TSR$. Тангенс угла $S$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$\mathrm{tg}(\angle S) = \frac{TR}{SR} = \frac{k}{3}$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $TRK$. Тангенс угла $K$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$\mathrm{tg}(\angle K) = \frac{TR}{RK} = \frac{k}{23,52}$$ Угол $\angle STR$ и $\angle K$ равны, значит $\mathrm{tg}(\angle STR) = \mathrm{tg}(\angle K)$. Из прямоугольного треугольника $TSR$ мы знаем, что $\angle S + \angle STR = 90^\circ$, так как $\angle TRS = 90^\circ$. Значит, $\angle STR = 90^\circ - \angle S$. Используем свойство тангенсов: $\mathrm{tg}(90^\circ - \alpha) = \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\mathrm{tg}(\alpha)}$. Тогда $\mathrm{tg}(\angle STR) = \mathrm{tg}(90^\circ - \angle S) = \mathrm{ctg}(\angle S) = \frac{1}{\mathrm{tg}(\angle S)}$. Мы знаем, что $\mathrm{tg}(\angle STR) = \mathrm{tg}(\angle K)$. Подставим сюда выражения, которые мы нашли: $$\frac{1}{\frac{k}{3}} = \frac{k}{23,52}$$ $$\frac{3}{k} = \frac{k}{23,52}$$ Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти $k$: $$k \cdot k = 3 \cdot 23,52$$ $$k^2 = 70,56$$ $$k = \sqrt{70,56}$$ $$k = 8,4$$ **Ответ:** $k = 8,4$