Решите систему уравнений: $x^3 + y^3 = 7$ и $x^3y^3 = -8$

Пусть $a = x^3$ и $b = y^3$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} a + b = 7 \\ ab = -8 \end{cases}$$ По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t - 8 = 0$. Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$ Корни квадратного уравнения: $$t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Таким образом, у нас есть два случая: Случай 1: $$\begin{cases} x^3 = 8 \\ y^3 = -1 \end{cases}$$ Из первого уравнения $x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} = 2$. Из второго уравнения $y^3 = -1 \implies y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Случай 2: $$\begin{cases} x^3 = -1 \\ y^3 = 8 \end{cases}$$ Из первого уравнения $x^3 = -1 \implies x = \sqrt[3]{-1} = -1$. Из второго уравнения $y^3 = 8 \implies y = \sqrt[3]{8} = 2$. **Ответ:** $(2; -1)$ и $(-1; 2)$.