На клетчатой бумаге показаны векторы (рис. 12). Постройте вектор, равный: а) AB + CD; б) CD + AB. Найдите модуль каждой из этих сумм, если сторона клетки равна 1.

1. На клетчатой бумаге (рис. 12) показаны векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$. Постройте вектор, равный: а) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ Чтобы сложить векторы, мы можем использовать правило треугольника или правило параллелограмма. Удобнее всего отложить начало второго вектора от конца первого. Тогда сумма векторов будет идти от начала первого вектора к концу второго. Вектор $\overrightarrow{AB}$ начинается в точке $A(-1, 1)$ и заканчивается в точке $B(1, 3)$. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$: $B_x - A_x = 1 - (-1) = 2$, $B_y - A_y = 3 - 1 = 2$. Значит $\overrightarrow{AB} = (2, 2)$. Вектор $\overrightarrow{CD}$ начинается в точке $C(0, 0)$ и заканчивается в точке $D(3, 1)$. Координаты вектора $\overrightarrow{CD}$: $D_x - C_x = 3 - 0 = 3$, $D_y - C_y = 1 - 0 = 1$. Значит $\overrightarrow{CD} = (3, 1)$. Для построения $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$: отложим вектор $\overrightarrow{CD}$ от конца вектора $\overrightarrow{AB}$ (от точки $B$). Новая конечная точка $B'$ будет иметь координаты: $B_x + 3 = 1 + 3 = 4$, $B_y + 1 = 3 + 1 = 4$. Точка $B'(4, 4)$. Вектор суммы $\overrightarrow{R_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ будет начинаться в точке $A(-1, 1)$ и заканчиваться в точке $B'(4, 4)$. Координаты вектора суммы $\overrightarrow{R_1}$: $(4 - (-1), 4 - 1) = (5, 3)$. Модуль вектора $\overrightarrow{R_1}$ находится по формуле: $|\overrightarrow{R_1}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. $|\overrightarrow{R_1}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$. **Ответ:** $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}| = \sqrt{34}$. б) $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}$ Сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, то есть $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$. Координаты вектора суммы $\overrightarrow{R_2} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}$: $(3 + 2, 1 + 2) = (5, 3)$. Модуль вектора $\overrightarrow{R_2}$: $|\overrightarrow{R_2}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$. **Ответ:** $|\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}| = \sqrt{34}$.