3. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 20 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.

1. Обозначим основания трапеции как $a$ (меньшее) и $b$ (большее). Высота $h = 12$ см. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Больший из них равен 20 см. В равнобедренной трапеции длина этого отрезка равна полусумме оснований. Тогда: $$\frac{a + b}{2} = 20$$ Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ Подставляем известные значения: $$S = 20 \cdot 12 = 240 \text{ см}^2$$ **Ответ: 240 см²** 2. Пусть площадь треугольника $ABC$ будет $S_{\triangle ABC}$, а площадь параллелограмма $MPKH$ будет $S_{MPKH}$. Площадь треугольника $ABC$: $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$$ Дано: $AB = a$, $BC = b$, $\angle B = 130^\circ$. Тогда: $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(130^\circ)$$ Площадь параллелограмма $MPKH$: $$S_{MPKH} = MP \cdot MH \cdot \sin(\angle M)$$ Дано: $MP = a$, $MH = b$, $\angle M = 50^\circ$. Тогда: $$S_{MPKH} = a \cdot b \cdot \sin(50^\circ)$$ Нужно найти отношение площади треугольника к площади параллелограмма: $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{MPKH}} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(130^\circ)}{a \cdot b \cdot \sin(50^\circ)}$$ Заметим, что $\sin(130^\circ) = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin(50^\circ)$. $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{MPKH}} = \frac{\frac{1}{2} \sin(50^\circ)}{\sin(50^\circ)} = \frac{1}{2}$$ **Ответ: 0.5** 3. Площадь трапеции $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 70$ см$^2$. Отношение оснований $BC : AD = 3 : 4$. Пусть $BC = 3x$ и $AD = 4x$. Высоту трапеции обозначим как $h$. Формула площади трапеции: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$ Подставляем значения: $$70 = \frac{3x + 4x}{2} \cdot h$$ $$70 = \frac{7x}{2} \cdot h$$ $$140 = 7xh$$ $$xh = 20$$ Площадь треугольника $DAB$ (или $ABD$) можно найти по формуле: $$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} AD \cdot h$$ Так как $AD = 4x$, получаем: $$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} (4x) \cdot h = 2xh$$ Мы нашли, что $xh = 20$, значит: $$S_{\triangle DAB} = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}^2$$ **Ответ: 40 см²**