Определить среднюю арифметическую, моду и медиану распределения стажа сотрудников турфирмы

**Допущение:** Для первого интервала "- 10" принята середина 5, для последнего интервала "30 -" принята середина 35. 1. Средняя арифметическая $\bar{x}$: Сначала найдём середины интервалов $x_i'$: * Для "- 10": $(0+10)/2 = 5$ * Для "10-15": $(10+15)/2 = 12.5$ * Для "15-20": $(15+20)/2 = 17.5$ * Для "20-25": $(20+25)/2 = 22.5$ * Для "25-30": $(25+30)/2 = 27.5$ * Для "30 -": $(30+40)/2 = 35$ (предполагаем, что интервал аналогичен предыдущим по ширине) Теперь рассчитаем среднюю арифметическую по формуле: $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i' \cdot f_i)}{\sum f_i}$$ Найдём сумму произведений $x_i' \cdot f_i$: $$(5 \cdot 4) + (12.5 \cdot 6) + (17.5 \cdot 12) + (22.5 \cdot 9) + (27.5 \cdot 4) + (35 \cdot 1)$$ $$20 + 75 + 210 + 202.5 + 110 + 35 = 652.5$$ Найдём общую сумму частот $\sum f_i$ (количество сотрудников): $$4 + 6 + 12 + 9 + 4 + 1 = 36$$ Теперь рассчитаем среднюю арифметическую: $$\bar{x} = \frac{652.5}{36} \approx 18.125$$ **Средняя арифметическая: $18.125$** 2. Мода $M_o$: Мода — это значение, которое встречается чаще всего. В интервальном ряду модальный интервал — это интервал с наибольшей частотой. Наибольшая частота (12) соответствует интервалу 15-20. Формула для моды интервального ряда: $$M_o = L + h \cdot \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})}$$ Где: * $L$ — нижняя граница модального интервала (15) * $h$ — ширина модального интервала ($20 - 15 = 5$) * $f_m$ — частота модального интервала (12) * $f_{m-1}$ — частота интервала, предшествующего модальному (6) * $f_{m+1}$ — частота интервала, следующего за модальным (9) $$M_o = 15 + 5 \cdot \frac{12 - 6}{(12 - 6) + (12 - 9)}$$ $$M_o = 15 + 5 \cdot \frac{6}{6 + 3}$$ $$M_o = 15 + 5 \cdot \frac{6}{9}$$ $$M_o = 15 + 5 \cdot \frac{2}{3}$$ $$M_o = 15 + \frac{10}{3}$$ $$M_o = 15 + 3.33 \approx 18.33$$ **Мода: $18.33$** 3. Медиана $M_e$: Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Сначала нужно найти порядковый номер медианы и медианный интервал. Общее количество наблюдений (сотрудников) $N = 36$. Порядковый номер медианы: $N/2 = 36/2 = 18$. Найдём кумулятивные частоты: * -10: 4 * 10-15: $4 + 6 = 10$ * 15-20: $10 + 12 = 22$ * 20-25: $22 + 9 = 31$ * 25-30: $31 + 4 = 35$ * 30-: $35 + 1 = 36$ Медианный интервал — это тот, где кумулятивная частота впервые превышает или равна 18. Это интервал 15-20 (кумулятивная частота 22). Формула для медианы интервального ряда: $$M_e = L + h \cdot \frac{(N/2) - F}{f_m}$$ Где: * $L$ — нижняя граница медианного интервала (15) * $h$ — ширина медианного интервала ($20 - 15 = 5$) * $N$ — общее количество наблюдений (36) * $F$ — кумулятивная частота интервала, предшествующего медианному (10) * $f_m$ — частота медианного интервала (12) $$M_e = 15 + 5 \cdot \frac{(36/2) - 10}{12}$$ $$M_e = 15 + 5 \cdot \frac{18 - 10}{12}$$ $$M_e = 15 + 5 \cdot \frac{8}{12}$$ $$M_e = 15 + 5 \cdot \frac{2}{3}$$ $$M_e = 15 + \frac{10}{3}$$ $$M_e = 15 + 3.33 \approx 18.33$$ **Медиана: $18.33$**