Определить 1) среднюю арифметическую $\bar{x}$; 2) моду $M_o$ и медиану $M_e$ распределения.

1. Средняя арифметическая $\bar{x}$ Для расчета средней арифметической для интервального ряда нужно найти середины каждого интервала $x_i'$ и использовать формулу: $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i' \cdot f_i)}{\sum f_i}$$ Допущение: Для первого интервала "- 14" возьмем середину как 7 (половина от 14). Для последнего интервала "54-" возьмем середину как 59 (предполагаем, что длина интервала такая же, как у предыдущих, то есть 10 лет). Найдем середины интервалов: * до 14: $x_1' = \frac{0+14}{2} = 7$ * 14-24: $x_2' = \frac{14+24}{2} = 19$ * 24-34: $x_3' = \frac{24+34}{2} = 29$ * 34-44: $x_4' = \frac{34+44}{2} = 39$ * 44-54: $x_5' = \frac{44+54}{2} = 49$ * 54 и более: $x_6' = \frac{54+64}{2} = 59$ Теперь вычислим $\sum (x_i' \cdot f_i)$ и $\sum f_i$: * $7 \cdot 1 = 7$ * $19 \cdot 3 = 57$ * $29 \cdot 7 = 203$ * $39 \cdot 5 = 195$ * $49 \cdot 4 = 196$ * $59 \cdot 2 = 118$ $\sum (x_i' \cdot f_i) = 7 + 57 + 203 + 195 + 196 + 118 = 776$ $\sum f_i = 1 + 3 + 7 + 5 + 4 + 2 = 22$ Теперь найдем среднюю арифметическую: $$\bar{x} = \frac{776}{22} \approx 35.27$$ 2. Мода $M_o$ Мода для интервального ряда — это середина модального интервала (интервала с наибольшей частотой). Наибольшая частота $f_i$ равна 7, что соответствует интервалу 24-34. Модальный интервал: 24-34. Середина модального интервала: $M_o = \frac{24+34}{2} = 29$ 3. Медиана $M_e$ Медиана для интервального ряда — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Сначала найдем медианный интервал. Общее число сотрудников $N = \sum f_i = 22$. Половина от этого числа $N/2 = 22/2 = 11$. Найдем накопленные частоты: * до 14: 1 * 14-24: $1 + 3 = 4$ * 24-34: $4 + 7 = 11$ * 34-44: $11 + 5 = 16$ * 44-54: $16 + 4 = 20$ * 54-: $20 + 2 = 22$ Медианный интервал — это тот интервал, где накопленная частота впервые становится больше или равна 11. В данном случае это интервал 24-34 (накопленная частота 11). Формула для медианы интервального ряда: $$M_e = L + \frac{\left(\frac{N}{2} - F\right)}{f_m} \cdot w$$ Где: * $L$ — нижняя граница медианного интервала (24) * $N$ — общее число наблюдений (22) * $F$ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному (4) * $f_m$ — частота медианного интервала (7) * $w$ — ширина медианного интервала (34 - 24 = 10) Подставляем значения: $$M_e = 24 + \frac{\left(\frac{22}{2} - 4\right)}{7} \cdot 10$$ $$M_e = 24 + \frac{(11 - 4)}{7} \cdot 10$$ $$M_e = 24 + \frac{7}{7} \cdot 10$$ $$M_e = 24 + 1 \cdot 10$$ $$M_e = 24 + 10 = 34$$ **Ответ:** 1. **Средняя арифметическая $\bar{x} \approx 35.27$** 2. **Мода $M_o = 29$** 3. **Медиана $M_e = 34$**