Вычислите значение выражения $\frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$

Для решения этого примера нам нужно использовать свойства степеней. Заданное выражение: $$ \frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ 1. Представим число $15$ как произведение $3 \cdot 5$: $$ \frac{(3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ 2. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$: $$ \frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ 3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ \frac{3^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ 4. Сложим показатели степени для основания $3$: $$ \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{2+7}{3} = \frac{9}{3} = 3 $$ 5. Теперь выражение выглядит так: $$ \frac{3^3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $$ 6. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для основания $5$: $$ 3^3 \cdot 5^{\frac{2}{3} - (-\frac{1}{3})} $$ 7. Вычислим показатель степени для основания $5$: $$ \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $$ 8. Таким образом, получаем: $$ 3^3 \cdot 5^1 $$ 9. Вычислим значения степеней: $$ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $$ $$ 5^1 = 5 $$ 10. Перемножим полученные значения: $$ 27 \cdot 5 = 135 $$ **Ответ:** $135$