Найти точки, лежащие на кривой, давая $\varphi$ значения через промежуток, равный $\frac{\pi}{8}$, начиная от $\varphi=0$ до $\varphi=2\pi$. Построить кривую и составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

1) Чтобы найти точки, лежащие на кривой, нужно подставить значения $\varphi$ в уравнение $\rho = \frac{1}{2 - \sqrt{5} \cos\varphi}$. Промежуток для $\varphi$ от $0$ до $2\pi$ с шагом $\frac{\pi}{8}$. Вот значения $\varphi$ и соответствующие значения $\rho$ (округлены до трёх знаков после запятой): | $\varphi$ (рад) | $\varphi$ (градусы) | $\cos\varphi$ | $\rho$ | |---|---|---|---| | $0$ | $0^\circ$ | $1$ | $-1$ | | $\frac{\pi}{8}$ | $22.5^\circ$ | $0.924$ | $-1.355$ | | $\frac{2\pi}{8}$ | $45^\circ$ | $0.707$ | $-3.513$ | | $\frac{3\pi}{8}$ | $67.5^\circ$ | $0.383$ | $1.764$ | | $\frac{4\pi}{8}$ | $90^\circ$ | $0$ | $0.5$ | | $\frac{5\pi}{8}$ | $112.5^\circ$ | $-0.383$ | $0.291$ | | $\frac{6\pi}{8}$ | $135^\circ$ | $-0.707$ | $0.219$ | | $\frac{7\pi}{8}$ | $157.5^\circ$ | $-0.924$ | $0.183$ | | $\pi$ | $180^\circ$ | $-1$ | $0.162$ | | $\frac{9\pi}{8}$ | $202.5^\circ$ | $-0.924$ | $0.183$ | | $\frac{10\pi}{8}$ | $225^\circ$ | $-0.707$ | $0.219$ | | $\frac{11\pi}{8}$ | $247.5^\circ$ | $-0.383$ | $0.291$ | | $\frac{12\pi}{8}$ | $270^\circ$ | $0$ | $0.5$ | | $\frac{13\pi}{8}$ | $292.5^\circ$ | $0.383$ | $1.764$ | | $\frac{14\pi}{8}$ | $315^\circ$ | $0.707$ | $-3.513$ | | $\frac{15\pi}{8}$ | $337.5^\circ$ | $0.924$ | $-1.355$ | | $2\pi$ | $360^\circ$ | $1$ | $-1$ | 2) Построим кривую, используя полученные точки. Для полярных координат, когда $\rho$ отрицательно, точка строится в противоположном направлении от угла $\varphi$. :::div .chart-container @chart-1::: 3) Чтобы составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат, используем формулы перехода: $x = \rho \cos\varphi$ $y = \rho \sin\varphi$ Из исходного уравнения $\rho = \frac{1}{2 - \sqrt{5} \cos\varphi}$ выразим $2 - \sqrt{5} \cos\varphi = \frac{1}{\rho}$. Отсюда $2\rho - \sqrt{5} \rho \cos\varphi = 1$. Подставим $x = \rho \cos\varphi$: $2\rho - \sqrt{5} x = 1$. Чтобы убрать $\rho$, используем $\rho = \pm\sqrt{x^2 + y^2}$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $2\rho = 1 + \sqrt{5} x$ $4\rho^2 = (1 + \sqrt{5} x)^2$ $4(x^2 + y^2) = (1 + \sqrt{5} x)^2$ $4x^2 + 4y^2 = 1 + 2\sqrt{5} x + 5x^2$ Перенесем все члены в одну сторону: $4y^2 = 1 + 2\sqrt{5} x + 5x^2 - 4x^2$ **$4y^2 = x^2 + 2\sqrt{5} x + 1$** Это уравнение гиперболы.