Построить эскиз графика функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

1. Чтобы построить эскиз графика функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, нужно исследовать её свойства: * Найдём производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$ * Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$3x^2 - 6x = 0$$ $$3x(x - 2) = 0$$ $$x_1 = 0, x_2 = 2$$ * Определим интервалы возрастания и убывания функции: * Если $x < 0$, например $x = -1$, то $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает. * Если $0 < x < 2$, например $x = 1$, то $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает. * Если $x > 2$, например $x = 3$, то $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает. * Найдём значения функции в критических точках: * $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$ (локальный максимум) * $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ (локальный минимум) * Найдем дополнительные точки для построения: * $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$ * $f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4$ :::div .chart-container @chart-1::: 2. Чтобы построить эскиз графика функции $f(x) = x^4 - 8x^2$, нужно исследовать её свойства: * Найдём производную функции: $$f'(x) = 4x^3 - 16x$$ * Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$4x^3 - 16x = 0$$ $$4x(x^2 - 4) = 0$$ $$4x(x - 2)(x + 2) = 0$$ $$x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$$ * Определим интервалы возрастания и убывания функции: * Если $x < -2$, например $x = -3$, то $f'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$. Функция убывает. * Если $-2 < x < 0$, например $x = -1$, то $f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$. Функция возрастает. * Если $0 < x < 2$, например $x = 1$, то $f'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$. Функция убывает. * Если $x > 2$, например $x = 3$, то $f'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$. Функция возрастает. * Найдём значения функции в критических точках: * $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 = 16 - 32 = -16$ (локальный минимум) * $f(0) = 0^4 - 8(0)^2 = 0$ (локальный максимум) * $f(2) = 2^4 - 8(2)^2 = 16 - 32 = -16$ (локальный минимум) :::div .chart-container @chart-2::: 3. Чтобы построить эскиз графика функции $f(x) = \frac{x}{2} - 2\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 16]$, нужно исследовать её свойства: * Область определения функции $x \ge 0$. Отрезок $[0; 16]$ входит в область определения. * Найдём производную функции: $$f'(x) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$$ * Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$ $$\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$ * Определим интервалы возрастания и убывания функции на отрезке $[0; 16]$: * Если $0 < x < 4$, например $x = 1$, то $f'(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{1}} = 0.5 - 1 = -0.5 < 0$. Функция убывает. * Если $4 < x \le 16$, например $x = 9$, то $f'(9) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{9}} = 0.5 - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} > 0$. Функция возрастает. * Найдём значения функции в критической точке и на концах отрезка: * $f(0) = \frac{0}{2} - 2\sqrt{0} = 0$ * $f(4) = \frac{4}{2} - 2\sqrt{4} = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$ (локальный минимум) * $f(16) = \frac{16}{2} - 2\sqrt{16} = 8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$ :::div .chart-container @chart-3::: 4. Для построения графика непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[-4; 3]$ по данным таблицы: * Из таблицы видно: * При $x = -4$, $f(x) = 5$. * На интервале $(-4; -2)$, $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. * При $x = -2$, $f'(x) = 0$ и $f(x) = -3$. Это локальный минимум. * На интервале $(-2; 1)$, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. * При $x = 1$, $f'(x) = 0$ и $f(x) = 4$. Это локальный максимум. * На интервале $(1; 3)$, $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. * При $x = 3$, $f(x) = 0$. * Дополнительно дано, что $f(0) = 2$. Это точка на участке возрастания функции. Строим график, соединяя точки и учитывая поведение функции: * Начинаем с точки $(-4, 5)$. * Функция убывает до точки $(-2, -3)$. * Функция возрастает до точки $(1, 4)$, проходя через $(0, 2)$. * Функция убывает до точки $(3, 0)$. :::div .chart-container @chart-4:::